Bài 4.18 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết, mạch lạc cùng các mẹo tính nhanh giúp các em tự tin đạt điểm tối đa.

I. Đề bài tập 4.18 (SGK Toán 10 - Trang 65)

Trong mặt phẳng tọa độ$Oxy$, cho các điểm$A(1; 3)$,$B(2; 4)$,$C(-3; 2)$.

• a)Hãy giải thích vì sao các điểm$A$,$B$,$C$không thẳng hàng 

• b)Tìm tọa độ trung điểm$M$của đoạn thẳng$AB$.

• c)Tìm tọa độ trọng tâm$G$của tam giác$ABC$. 

• d)Tìmtọa độ điểm $D(x; y)$ để gốc tọa độ $O(0; 0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.

   

II. Hệ thống công thức đại số tọa độ cần nhớ

• Điều kiện thẳng hàng: Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương. Nếu hai vectơ không cùng phương, ba điểm đó không thẳng hàng và tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.

• Tọa độ trung điểm: Nếu $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, ta có:

  $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}; \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$$

• Tọa độ trọng tâm: Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, ta có:

  $$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$$

III. Lời giải chi tiết bài 4.18

a) Giải thích vì sao các điểm $A, B, C$ không thẳng hàng

• Trước hết, ta tiến hành lập tọa độ của hai vectơ chung gốc $A$ là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

  $$\overrightarrow{AB} = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1)$$
  $$\overrightarrow{AC} = (-3 - 1; 2 - 3) = (-4; -1)$$

• Xét tỷ số giữa các hoành độ và tung độ tương ứng của hai vectơ trên:

  Ta thấy: $\frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$ và $\frac{1}{-1} = -1$.

  Vì $-\frac{1}{4} \neq -1 \Rightarrow \frac{1}{-4} \neq \frac{1}{-1}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương với nhau.

Kết luận: Do hai vectơ chung gốc không cùng phương nên ba điểm $A, B, C$ không cùng nằm trên một đường thẳng. Hay nói cách khác, ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$

Gọi tọa độ của trung điểm $M$ là $M(x_M; y_M)$. Áp dụng công thức cộng trung bình cộng tọa độ hai đầu mút $A$ và $B$, ta có:

• Hoành độ điểm $M$:

  $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$$

• Tung độ điểm $M$:

  $$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2}$$

Kết luận: Tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là $M\left(\frac{3}{2}; \frac{7}{2}\right)$.

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

Gọi tọa độ của trọng tâm $G$ là $G(x_G; y_G)$. Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm (trung bình cộng tọa độ của 3 đỉnh), ta có:

• Hoành độ điểm $G$:

  $$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 2 + (-3)}{3} = \frac{0}{3} = 0$$

• Tung độ điểm $G$:

  $$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{3 + 4 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Kết luận: Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G(0; 3)$.

d) Tìm điểm $D(x; y)$ để $O(0; 0)$ là trọng tâm tam giác $ABD$

Để gốc tọa độ $O(0; 0)$ đóng vai trò là trọng tâm của tam giác $ABD$, tọa độ của điểm $O$ phải thỏa mãn hệ thức định nghĩa trọng tâm đối với 3 đỉnh $A, B, D$:

Giải hệ phương trình bậc nhất trên bằng cách nhân chéo số 3 lên, ta được:

Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là $D(-3; -7)$.

IV. Mẹo biến đổi nhanh công thức trọng tâm (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn tiết kiệm thời gian khi gặp câu hỏi trắc nghiệm tương tự như câu d, các em có thể ghi nhớ mẹo suy diễn công thức sau:

Khi biết tọa độ trọng tâm $G$ và hai đỉnh của tam giác, tọa độ đỉnh thứ ba (ví dụ đỉnh $D$ trong tam giác $ABD$) luôn được tính nhanh bằng cách: Lấy 3 lần tọa độ trọng tâm trừ đi tổng tọa độ hai đỉnh đã biết.

$$x_D = 3x_G - (x_A + x_B)$$

$$y_D = 3y_G - (y_A + y_B)$$

Áp dụng vào câu d với trọng tâm là $O(0;0)$:

• $x_D = 3 \cdot 0 - (1 + 2) = -3$

• $y_D = 3 \cdot 0 - (3 + 4) = -7$

• Chúng ta nhẩm ra ngay đáp số $D(-3; -7)$ trong vòng chưa đầy 5 giây mà không cần lập hệ phương trình phân số!

V. Kết luận

Bài tập 4.18 là một bài toán tổng hợp rất hay và vừa sức, giúp học sinh củng cố và bao quát lại toàn bộ các công thức tọa độ phẳng cơ bản của chương IV. Việc thành thạo kỹ năng tính toán này sẽ giúp các em xây dựng nền tảng vững chắc cho các bài toán viết phương trình đường thẳng ở học kỳ II.