Bài 4.22 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết và phần phân tích logic giúp các em học sinh dễ dàng ghi nhớ kiến thức.

I. Đề bài tập 4.22 (SGK Toán 10 - Trang 70)

Tìm điều kiện của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ (đều khác $\vec{0}$) để:

• a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$

• b) $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$

II. Phương pháp giải toán cốt lõi

Để tìm điều kiện của hai vectơ, chúng ta bám sát vào thức định nghĩa Tích vô hướng của hai vectơ:

Bằng cách thế phương trình đề bài cho vào hệ thức định nghĩa, ta sẽ triệt tiêu đại lượng tích độ dài $|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ ở hai vế để tìm ra giá trị của $\cos(\vec{u}, \vec{v})$. Từ giá trị cosin, ta suy ra số đo góc giữa hai vectơ và đưa ra kết luận về phương hướng của chúng.

III. Lời giải chi tiết bài 4.22

a) Tìm điều kiện để $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$

• Theo công thức định nghĩa, ta luôn có hệ thức:

  $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$$

• Để đẳng thức $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ xảy ra, ta tiến hành thay vế trái vào hệ thức định nghĩa:

  $$\Rightarrow |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v}) = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$$

• Vì các vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ đều khác $\vec{0}$ nên tích độ dài của chúng là một số dương ($| \vec{u} | \cdot | \vec{v} | > 0$). Chia cả hai vế của đẳng thức cho đại lượng này, ta thu được:

  $$\Leftrightarrow \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$$

• Tra bảng lượng giác hoặc bấm máy tính phương trình lượng giác cơ bản, ta suy ra số đo góc:

  $$\Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^\circ$$

• Khi góc giữa hai vectơ bằng $0^\circ$, điều này chứng tỏ chúng song song và mũi tên chỉ lực hướng về cùng một phía.

Kết luận: Điều kiện để $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ là hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng với nhau.

b) Tìm điều kiện để $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$

• Hoàn toàn tương tự, xuất phát từ biểu thức định nghĩa tích vô hướng:

  $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$$

• Để đẳng thức đề bài yêu cầu xảy ra, ta lập luận:

  $$\Rightarrow |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$$

• Tiến hành rút gọn đại lượng tích độ dài dương $|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ ở cả hai vế, ta thu được:

  $$\Leftrightarrow \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1$$

• Tra bảng lượng giác hoặc bấm máy tính phương trình cosin, ta tìm được số đo góc giữa hai vectơ:

  $$\Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ$$

• Khi góc giữa hai vectơ đạt giá trị cực đại là $180^\circ$, điều này chứng tỏ chúng song song nhưng mũi tên chỉ lực hướng ngược chiều nhau.

Kết luận: Điều kiện để $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ là hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng với nhau.

IV. Kiến thức mở rộng: Mẹo nhớ nhanh giá trị tích vô hướng

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn dễ dàng vượt qua các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết liên quan đến dấu và giá trị của tích vô hướng, các em hãy ghi nhớ quy luật chuyển động của góc sau:

• Nếu góc giữa hai vectơ là góc nhọn ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$) thì $\cos\alpha > 0 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ (Tích vô hướng mang dấu dương).

• Nếu góc giữa hai vectơ là góc vuông ($\alpha = 90^\circ$) thì $\cos\alpha = 0 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (Tích vô hướng bằng 0).

• Nếu góc giữa hai vectơ là góc tù ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$) thì $\cos\alpha < 0 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ (Tích vô hướng mang dấu âm).

V. Kết luận

Bài tập 4.22 là một câu hỏi giáo khoa vô cùng đắt giá, giúp học sinh khắc sâu hai trường hợp biến đổi đặc biệt của tích vô hướng khi góc giữa chúng đạt giá trị biên ($0^\circ$ và $180^\circ$). Việc nắm chắc các tính chất định tính này sẽ giúp các em không bị lúng túng trước các câu hỏi bẫy lý thuyết trong phòng thi.