Các dạng Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ lớp 10 có đáp án - Toán 10 chuyên đề

08:15:3311/08/2022

Bài tập về tích vô hướng của 2 vectơ trong mặt phẳng cũng khá đa dạng nhưng không quá khó, các dạng bài tập này đòi hỏi các em nắm vững một số công thức vận dụng.

Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các dạng bài tập tích vô hướng của 2 vectơ trong chương trình toán lớp 10, qua đó vận dụng vào giải các bài tập minh hoạ để hiểu rõ và nắm vững nhé.

I. Tích vô hướng của 2 vectơ lớp 10: Tóm tắt kiến thức

• Định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ:

Cho hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ . Tích vô hướng của $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=| \overrightarrow{a}| . | \overrightarrow{b}|cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{0}$ , ta quy ước:

$\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = 0.

» xem thêm: Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng và ứng dụng

• Điều kiện để 2 vectơ vuông góc:

Cho $\small \overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}$ và $\small \overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}$ :

$\small \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

• Bình phương vô hướng của một vectơ

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

$\small (\overrightarrow{AB})^2=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|^2=AB^2$

hayhochoi vn

• Tính chất của tích vô hướng

- Với ba vectơ $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ bất kỳ và mọi số k ta có:

i) $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ = $\overrightarrow{b}$ . $\overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán)

ii) $\overrightarrow{a}$ .( $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ ) = $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối)

(k $\overrightarrow{a}$ ). $\overrightarrow{b}$ = k( $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ ) = $\overrightarrow{a}$ .(k $\overrightarrow{b}$ ) (tích chất kết hợp)

iii) $\overrightarrow{a}^2\geq 0,\overrightarrow{a}^2=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$

• Công thức tính độ dài của vectơ

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ được tính theo công thức:

$\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$

• Công thức tính góc giữa hai vectơ

- Nếu $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ đều khác $\overrightarrow{0}$ thì ta có:

$cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left |\overrightarrow{a} \right |.\left |\overrightarrow{b} \right |}$ $=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$

• Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

- Khoảng cách giữa 2 điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B) được tính theo công thức:

$AB=\left | \overrightarrow{AB} \right | = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

• Công thức hình chiếu của vectơ

Cho hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ , gọi vectơ $\small \overrightarrow{b}'$ lac vectơ hình chiếu của vectơ $\small \overrightarrow{b}$ lên giá của $\small \overrightarrow{a}$ , ta có:

$\small \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}'$

II. Các dạng Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ lớp 10

° Dạng 1: Tính tích vô hướng

* Bài tập: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1, có tâm là O. Tính

$\small a)\: \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ $\small b)\: \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}$

$\small c)\: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $\small d)\: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}$

$\small e)\: (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})$

$\small f)\: (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}) (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD})$

* Lời giải:

$\small a)\: \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$

Ta thấy vì OA vuông góc với OB (tính chất hình vuông 2 đường chéo vuông góc) nên:

$\small \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0$

$\small b)\: \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}$

Hai vectơ cùng phương, ngược chiều, có độ dài bằng nhau nên:

$\small \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=-OA^2=-\frac{1}{2}$

* Lưu ý: Theo pitago độ dài đường chéo hình vuông cạnh 1 là: $\small AC=BD=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:

$\small OA=OC=OB=OD=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\small c)\: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$\small \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=| \overrightarrow{AB}|.| \overrightarrow{AC}|cos45^0$ $\small =1.\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=1$

$\small d)\: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}$

$\small \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}= |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AO}|cos45^0$ $\small =1.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{1}{2}$

° Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tích vô hướng

* Bài tập: Cho tam giác ABC có các trung tuyến AD, BE và CF. Chứng minh:

$\dpi{100} \small \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}=0$

* Lời giải:

Sử dụng các quy tắc ba điểm và trung tuyến, ta có:

$\small \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$

$\small =\frac{1}{2}(AC^2-AB^2)=\frac{1}{2}(b^2-c^2)$

Tương tự:

$\small (\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CA})=\frac{1}{2}(c^2-a^2)$

$\small (\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(a^2-b^2)$

Suy ra: $\small \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}$

$\small =\frac{1}{2}(b^2-c^2)+\frac{1}{2}(c^2-a^2)+\frac{1}{2}(a^2-b^2)=0$

° Dạng 3: Chứng minh 2 vectơ vuông góc

* Bài tập: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3, AC = 4 và trung tuyến AD. Tìm điểm E ∈ AC sao cho BE ⊥ AD.

* Lời giải:

- Ta có:

$\small \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB})$

$\small =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}-AB^2+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB})$

$\small =\frac{1}{2}(AE.AC-AB^2)$

Để BE ⊥ AD khi chỉ khi: $\small \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE}=0$

$\small \Leftrightarrow AC.AE=AB^2\Rightarrow AE=\frac{AB^2}{AC}=\frac{9}{4}$

° Dạng 4: Tìm tập hợp điểm M thoả điều kiện cho trước

* Bài tập: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M thoả

$\small a)\: \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$\small b)\: \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}$

$\small c)\: MA^2=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}$

* Lời giải:

$\small a)\: \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$\small \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC})=0\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CM}=0$

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng (d) ⊥ AB và đi qua C.

$\small b)\: \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}$

$\small \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{CB}=0$

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng (d) ⊥ BC và đi qua A.

Hy vọng với bài viết về các dạng Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ lớp 10 có đáp án ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để Hay-Học-Hỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Các dạng Bài tập tích vô hướng của 2 vectơ lớp 10 có đáp án - Toán 10 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét