Hướng Dẫn Chi Tiết Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất - Toán 9 Chân trời tập 1 Chương 1 bài 3

Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo sách giáo khoa Toán 9 - Chân Trời Sáng Tạo. Bài học này tập trung vào các phương pháp giải hệ phương trình, một kỹ năng cốt lõi trong chương trình toán học. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp toàn bộ lý thuyết và các bước giải chi tiết, giúp các em nắm vững kiến thức một cách hiệu quả nhất.

1. Phương Pháp Thế Để Giải Hệ Phương Trình

• Lý thuyết: Phương pháp thế là một trong những cách phổ biến nhất để giải hệ phương trình bậc nhất. Ý tưởng chính là biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại, sau đó thay vào phương trình kia để thu được một phương trình một ẩn.

• Các bước giải:

  • Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn (ví dụ $x$) theo ẩn còn lại ($y$).

  • Bước 2: Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại để nhận được một phương trình bậc nhất chỉ có một ẩn.

  • Bước 3: Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của ẩn này. Sau đó, thay giá trị vừa tìm được vào biểu thức ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại.

  • Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ.

Ví dụ 1: Áp dụng phương pháp thế

Giải hệ phương trình  bằng phương pháp thế.

• Hướng dẫn giải:

  • Từ phương trình (1): $x-y=3\; suy\; rax=y+3$.

  • Thế $x=y+3$ vào phương trình (2): $2(y+3)-y=3$.

  • Giải phương trình này: $2y+6-y=3\; suy\; ray=-3$.

  • Thay $y=-3$ vào $x=y+3$, ta có: $x=-3+3\; suy\; rax=0$.

• Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(0;-3)$.

2. Phương Pháp Cộng Đại Số Để Giải Hệ Phương Trình

• Lý thuyết: Phương pháp cộng đại số nhằm mục đích triệt tiêu một ẩn bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ. Để làm được điều này, ta cần làm cho hệ số của một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.

• Các bước giải:

  • Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) để hệ số của một ẩn (ví dụ $x$ hoặc $y$) trong hai phương trình trở nên bằng nhau hoặc đối nhau.

  • Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để được một phương trình một ẩn, sau đó giải phương trình đó.

  • Bước 3: Thế giá trị của ẩn tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của ẩn còn lại.

  • Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ.

Ví dụ 2: Áp dụng phương pháp cộng đại số

Giải hệ phương trình ​ bằng phương pháp cộng đại số.

• Hướng dẫn giải:

  • Nhận thấy hệ số của ẩn $y$ trong hai phương trình là $1$ và $-1$, là hai số đối nhau. Ta sẽ cộng hai phương trình.

  • Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2): $(x+y)+(5x-y)=25+5\; suy\; ra6x=30\; suy\; rax=5$.

  • Thay $x=5$ vào phương trình (1): $5+y=25\; suy\; ray=20$.

• Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(5;20)$.

3. Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình

• Lý thuyết: Nhiều bài toán thực tế có thể được giải quyết hiệu quả bằng cách sử dụng hệ phương trình.

• Các bước giải:

  • Bước 1: Lập hệ phương trình

    • Chọn hai ẩn để biểu thị hai đại lượng chưa biết của bài toán.

    • Đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn (ví dụ: số người, vận tốc, quãng đường...).

    • Biểu diễn các đại lượng khác theo hai ẩn đã chọn.

    • Lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn từ các mối quan hệ được cho trong bài toán.

  • Bước 2: Giải hệ phương trình đã lập được.

  • Bước 3: Kiểm tra và kết luận

    • So sánh nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn đã đặt ở Bước 1.

    • Trả lời bài toán dựa trên nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 3: Bài toán thực tế

Một khách du lịch đi bằng ô tô trong 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640 km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km?

• Hướng dẫn giải:

  • Bước 1: Lập hệ phương trình

    • Gọi $x$ (km/h) là vận tốc của ô tô ($x>0$).

    • Gọi $y$ (km/h) là vận tốc của tàu hỏa ($y>0$).

    • Quãng đường đi bằng ô tô là $4x$ (km).

    • Quãng đường đi bằng tàu hỏa là $7y$ (km).

    • Tổng quãng đường: $4x+7y=640$ (phương trình 1).

    • Tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5km/h: $y-x=5$ (phương trình 2).

    • Ta có hệ phương trình: ​

  • Bước 2: Giải hệ phương trình

    • Từ phương trình (2): $y=x+5$.

    • Thế vào phương trình (1): $4x+7(x+5)=640$.

    • $4x+7x+35=640\; suy\; ra11x=605\; suy\; rax=55$.

    • Thay $x=55$ vào $y=x+5\; suy\; ray=55+5=60$.

  • Bước 3: Kiểm tra và trả lời

    • Cả hai giá trị $x=55$ và $y=60$ đều thỏa mãn điều kiện ($>0$).

• Kết luận: Vận tốc của ô tô là 55 km/h và vận tốc của tàu hỏa là 60 km/h.