Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Đường Tròn - Lý Thuyết và Các Khái Niệm Cơ Bản (Chân Trời Sáng Tạo)

1. Khái Niệm Đường Tròn

• Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R, ký hiệu là (O; R).

• Lưu ý:

  • Khi không cần chú ý đến bán kính, đường tròn (O; R) còn được ký hiệu là (O).

  • Cho đường tròn (O; R) và điểm M. Khi đó:

    • Nếu OM = R thì điểm M nằm trên đường tròn (hay M thuộc đường tròn).

    • Nếu OM < R thì điểm M nằm trong đường tròn.

    • Nếu OM > R thì điểm M nằm ngoài đường tròn.

Ví dụ:

• Hãy gọi tên, xác định tâm và bán kính của đường tròn sau.

• Hướng dẫn giải: Hình trên là đường tròn (A; R) có tâm A và bán kính R.

2. Tính Đối Xứng Của Đường Tròn

• Đối xứng tâm: Nếu điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta nói hai điểm A và B đối xứng nhau qua O.

• Đối xứng trục: Nếu đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta nói hai điểm A và B đối xứng nhau qua d.

• Tính chất:

  • Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm đối xứng là tâm của đường tròn.

  • Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của nó.

• Lưu ý: Đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất nhưng có vô số trục đối xứng.

Ví dụ:

• Cho đường tròn (O).

  • a) Tìm tâm đối xứng của (O)

    • Hướng dẫn giải: Tâm O là tâm đối xứng của (O).

  • b) Vẽ hai trục đối xứng của (O)

    • Hướng dẫn giải: Vẽ hai đường thẳng a và b bất kỳ đi qua tâm O. Ta có a và b đều là trục đối xứng của (O).

3. Đường Kính và Dây Cung của Đường Tròn

• Dây cung: Cho hai điểm M, M cùng thuộc một đường tròn. Đoạn thẳng MN gọi là dây cung hoặc dây.

• Đường kính: Đường kính là một dây đi qua tâm.

• Định lý: Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

Ví dụ:

• Cho đường tròn (O) có các dây cung MN, PQ. Biết MN đi qua tâm O, PQ không đi qua O. So sánh độ dài MN, PQ.

• Hướng dẫn giải: Trong đường tròn (O), MN đi qua tâm O nên MN là đường kính. PQ là dây cung không đi qua O. Suy ra PQ < MN.

4. Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn

• Không giao nhau: Hai đường tròn không có điểm chung. Có thể ngoài nhau hoặc đường tròn này đựng đường tròn kia.

• Tiếp xúc nhau: Hai đường tròn chỉ có một điểm chung. Có thể tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong.

• Cắt nhau: Hai đường tròn có đúng hai điểm chung.

• Điều kiện: Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O'; R') với . Ta có:

  • Ngoài nhau: .

  • Đựng nhau: .

  • Tiếp xúc ngoài: .

  • Tiếp xúc trong: OO' = R - R'.

  • Cắt nhau: .

• Lưu ý: Nếu  thì  trùng với . Hai đường tròn có tâm trùng nhau gọi là hai đường tròn đồng tâm.

Bảng tóm tắt vị trí tương đối của hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O'; R') với R ≥ R'

Ví dụ:

• Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O'; R') trong mỗi trường hợp sau:

  • a) 

    • Hướng dẫn giải: Ta có . Vì , tức là , nên hai đường tròn ở ngoài nhau.

  • b) 

    • Hướng dẫn giải: Ta có  nên hai đường tròn đồng tâm. Đường tròn  đựng đường tròn .