Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tiếp Tuyến Của Đường Tròn (Chân Trời Sáng Tạo)

1. Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng Và Đường Tròn

• Định nghĩa: Cho đường thẳng a và đường tròn (O).

  • Không giao nhau: Nếu a và (O) không có điểm chung.

  • Tiếp xúc: Nếu a và (O) có duy nhất một điểm chung C. Khi đó, a là tiếp tuyến của (O) tại C, và C là tiếp điểm.

  • Cắt nhau: Nếu a và (O) có hai điểm chung A, B. Khi đó, a là cát tuyến của (O).

• Nhận xét về khoảng cách: Cho đường tròn . Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a.

  • a không giao (O; R) khi d > R.

  • a tiếp xúc (O; R) khi d = R.

  • a cắt (O; R) khi d < R.

Ví dụ:

• Cho đường thẳng d và một điểm A cách d một khoảng d = 5cm. Xác định vị trí tương đối của d với các đường tròn sau:

  • a) Đường tròn 

    • Hướng dẫn giải: Ta có  và . Vì , nên  và đường tròn  không giao nhau.

  • b) Đường tròn 

    • Hướng dẫn giải: Ta có và . Vì , nên  cắt đường tròn  tại hai điểm.

2. Dấu Hiệu Nhận Biết Tiếp Tuyến Của Đường Tròn

• Định lý: Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

• Tính chất:

  • Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

  • Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.

Ví dụ:

• Cho đường tròn  và điểm A nằm trên (I). Nêu cách dựng tiếp tuyến d với (I) tại A.

• Hướng dẫn giải: Ta vẽ đường thẳng d vuông góc với bán kính IA tại điểm A. Khi đó, d là tiếp tuyến với (I) tại A.

3. Tính Chất Của Hai Tiếp Tuyến Cắt Nhau

• Định lý: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

  • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

  • Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

  • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ:

• Tìm giá trị của x trong hình sau:

• Hướng dẫn giải:

  • Xét đường tròn (O) có AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M.

  • Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AM = BM.

  • Từ hình, ta có 13 = 2x - 5.

  • Giải phương trình: 2x = 13 + 5 = 18 suy ra .

• Kết luận: Vậy x = 9.