Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Góc Ở Tâm và Góc Nội Tiếp (Chân Trời Sáng Tạo)

1. Góc Ở Tâm

• Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Ví dụ:

• Cho tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O). Xác định các góc ở tâm của đường tròn.

• Hướng dẫn giải: Trong hình vẽ, đường tròn (O) có các góc ở tâm là .

2. Cung, Số Đo Cung

• Cung: Mỗi phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm A, B trên đường tròn gọi là một cung AB, ký hiệu là .

• Lưu ý:

  • Khi , ta gọi cung nằm trong góc  là cung nhỏ và cung còn lại là cung lớn.

  • Khi  là đường kính, cung  được gọi là cung nửa đường tròn.

  • Khi nói "góc ở tâm  chắn cung ", ta hiểu là góc đó chắn cung nhỏ .

• Số đo cung:

  • Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

  • Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  và số đo của cung nhỏ có chung hai đầu mút với cung lớn.

  • Số đo của cung nửa đường tròn bằng .

  • Số đo của cung AB được ký hiệu là sđ\overparen{AB}.

• Định lý: Trên đường tròn (O), nếu B là một điểm nằm trên cung AC, thì sđ = sđ + sđ.

• Lưu ý:

  • Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180°, cung lớn có số đo lớn hơn 180°. Cung nửa đường tròn có số đo 180°.

  • Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có cung không với số đo 0° và cung cả đường tròn có số đo 360°.

  • Một cung có số đo n° thường được gọi tắt là cung n°.

  • Trong một đường tròn, hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Ví dụ:

• Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết .

• a) Tính  và .

  • Hướng dẫn giải: Xét đường tròn (O) có MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M. Suy ra OM là tia phân giác của góc . Do đó .

  • Xét tam giác  vuông tại A, ta có .

• b) Tính số đo cung  nhỏ và  lớn.

  • Hướng dẫn giải: Ta có sđ .

  • Số đo cung  lớn là sđ .

3. Góc Nội Tiếp

• Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

• Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ:

• Tìm góc nội tiếp chắn cung AC của đường tròn (O) trong hình sau.

• Hướng dẫn giải: Trong hình,  là góc nội tiếp chắn cung .

• Tính chất:

  • Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

  • Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

  • Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng  có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

  • Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ:

• Cho  và dây cung . Kẻ OK vuông góc với MN tại K. Tính số đo các góc  và .

• Hướng dẫn giải: Xét tam giác  cân tại O . OK là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra . Xét tam giác OKM vuông tại K, ta có: . Suy ra . Vì OK là tia phân giác của góc  .