Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức Toán 9

Dạng toán này đòi hỏi các em phải vận dụng linh hoạt các kỹ năng biến đổi đại số như thêm bớt hạng tử, hằng đẳng thức đáng nhớ, phối hợp điều kiện xác định và các bất đẳng thức kinh điển. Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hệ thống lại toàn bộ các phương pháp hiệu quả nhất kèm theo ví dụ minh họa có lời giải từng bước để các em dễ dàng làm chủ kiến thức.

1. Tìm GTLN, GTNN Của Biểu Thức Đại Số Bậc Hai

Phương pháp giải

Đối với một biểu thức chứa một biến số dạng bậc hai, phương pháp phổ biến và an toàn nhất là sử dụng hằng đẳng thức để đưa biểu thức về các dạng chặn số học sau:

• Để tìm GTNN (Min): Ta biến đổi biểu thức về dạng

  $$A^2(x) + k$$

  (trong đó $k$ là một hằng số cố định). Vì $A^2(x) \geq 0$ với mọi $x$ nên $A^2(x) + k \geq k$. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất bằng $k$ khi $A(x) = 0$.

• Để tìm GTLN (Max): Ta biến đổi biểu thức về dạng

  $$k - A^2(x)$$

  . Vì $-A^2(x) \leq 0$ với mọi $x$ nên $k - A^2(x) \leq k$. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất bằng $k$ khi $A(x) = 0$.

Các ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức $A = x^2 + 2x - 3$

  Lời giải chi tiết: Ta thực hiện thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

  $A = (x^2 + 2x + 1) - 4$

  $A = (x + 1)^2 - 4$

  Vì $(x + 1)^2 \geq 0$ với mọi số thực $x$, ta thực hiện trừ cả hai vế cho 4:

  $(x + 1)^2 - 4 \geq -4$

  Dấu bằng xảy ra khi biểu thức cơ số bằng 0:

  $x + 1 = 0$

  $x = -1$

  Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng $-4$ khi $x = -1$.

• Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức $A = -x^2 + 6x - 5$

  Lời giải chi tiết:Ta thực hiện đặt dấu trừ ra ngoài và biến đổi biểu thức bên trong ngoặc:

  $A = -(x^2 - 6x + 5)$

  $A = -(x^2 - 6x + 9 - 4)$

  $A = -[(x - 3)^2 - 4]$

  $A = 4 - (x - 3)^2$

  Vì $(x - 3)^2 \geq 0$ với mọi số thực $x$, ta suy ra:

  $-(x - 3)^2 \leq 0$

  $4 - (x - 3)^2 \leq 4$

  Dấu bằng xảy ra khi biểu thức cơ số bằng 0:

  $x - 3 = 0$

  $x = 3$

  Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ bằng 4 khi $x = 3$.

• Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức phân số $A = \frac{10}{x^2 + 2x + 5}$

  Lời giải chi tiết: Nhận thấy tử số là hằng số dương dương 10. Để phân số $A$ đạt giá trị lớn nhất thì mẫu số của phân số phải đạt giá trị nhỏ nhất và mang dấu dương.

  Ta thực hiện biến đổi và thu gọn biểu thức dưới mẫu số:

  $x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4$

  Vì $(x + 1)^2 \geq 0$ với mọi số thực $x$ nên ta có:

  $(x + 1)^2 + 4 \geq 4$

  Dấu bằng ở mẫu xảy ra khi $x + 1 = 0$ hay $x = -1$. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của mẫu số bằng 4.

  Thay giá trị nhỏ nhất của mẫu vào phân số, ta được:

  $A \leq \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

  Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ bằng $\frac{5}{2}$ khi $x = -1$.

2. Tìm GTLN, GTNN Của Biểu Thức Chứa Dấu Căn Bậc Hai

Phương pháp giải

Hoàn toàn tương tự như phương pháp trên, đối với các biểu thức chứa dấu căn bậc hai, ta áp dụng tính chất không âm cốt lõi của căn thức:

Lưu ý bắt buộc: Khi làm việc với biểu thức chứa căn, bước đầu tiên các em luôn luôn phải thiết lập điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho biểu thức dưới dấu căn không âm ($A(x) \geq 0$). Sau khi tìm được vị trí xảy ra dấu bằng, nhớ đối chiếu lại với ĐKXĐ.

Các ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức $A = 2\sqrt{x - 1} + 3$

  Lời giải chi tiết: Điều kiện xác định của biểu thức là:

  $x - 1 \geq 0$

  $x \geq 1$

  Với điều kiện $x \geq 1$, ta luôn có tính chất không âm của căn thức:

  $\sqrt{x - 1} \geq 0$

  $2\sqrt{x - 1} \geq 0$

  $2\sqrt{x - 1} + 3 \geq 3$

  Dấu bằng xảy ra khi biểu thức trong căn bằng 0:

  $\sqrt{x - 1} = 0$

  $x - 1 = 0$

  $x = 1$ (Giá trị này hoàn toàn thỏa mãn ĐKXĐ).

  Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng 3 khi $x = 1$.

• Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức $A = 5 - 3\sqrt{x - 1}$

  Lời giải chi tiết:Điều kiện xác định của biểu thức là:

  $x - 1 \geq 0$

  $x \geq 1$

  Với điều kiện $x \geq 1$, áp dụng tính chất không âm ta có:

  $\sqrt{x - 1} \geq 0$

  Nhân cả hai vế với số âm 3 (nhớ đảo chiều bất đẳng thức):

  $-3\sqrt{x - 1} \leq 0$

  $5 - 3\sqrt{x - 1} \leq 5$

  Dấu bằng xảy ra khi:

  $\sqrt{x - 1} = 0$

  $x = 1$ (Thỏa mãn ĐKXĐ).

  Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ bằng 5 khi $x = 1$.

3. Tìm GTLN, GTNN Của Biểu Thức Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Phương pháp giải

Đối với dạng bài này, ta áp dụng thuộc tính hình học không âm của giá trị tuyệt đối:

với mọi biểu thức $A(x)$.

Các ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức $A = 5 - |2x - 2|$

  Lời giải chi tiết: Áp dụng tính chất không âm của trị tuyệt đối, ta có:

  $|2x - 2| \geq 0$ với mọi số thực $x$.

  Ta nhân đổi dấu vế:

  $-|2x - 2| \leq 0$

  $5 - |2x - 2| \leq 5$

  Dấu bằng xảy ra khi biểu thức trong dấu trị tuyệt đối bằng 0:

  $|2x - 2| = 0$

  $2x - 2 = 0$

  $2x = 2$

  $x = 1$

  Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ bằng 5 khi $x = 1$.

• Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức $A = |9 - x| - 3$

  Lời giải chi tiết: Áp dụng tính chất không âm của trị tuyệt đối, ta có:

  $|9 - x| \geq 0$ với mọi số thực $x$.

  Thực hiện trừ cả hai vế cho hằng số 3:

  $|9 - x| - 3 \geq -3$

  Dấu bằng xảy ra khi:

  $|9 - x| = 0$

  $9 - x = 0$

  $x = 9$

  Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng $-3$ khi $x = 9$.

4. Biến Đổi Nâng Cao Sử Dụng Bất Đẳng Thức Cauchy (Cô-si)

Trong thực tế các đề thi nâng cao, có rất nhiều biểu thức phân thức phức tạp không thể giải quyết bằng phương pháp hằng đẳng thức thông thường. Lúc này, ta cần sử dụng các công cụ bất đẳng thức mạnh mẽ hơn:

Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: > Với hai số thực $a, b$ không âm ($a \geq 0, b \geq 0$), ta luôn có:

$$a + b \geq 2\sqrt{ab}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số bằng nhau: $a = b$.

(Bất đẳng thức này còn được gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM).

Bên cạnh đó, các em cũng cần lưu ý bộ đôi bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối bổ trợ sau:

• $|a| + |b| \geq |a + b|$ (Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tích $a \cdot b \geq 0$).

• $|a| - |b| \leq |a - b| \leq |a| + |b|$ (Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tích $a \cdot b \leq 0$).

Các ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức $M = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ với điều kiện các số thực $a, b > 0$.

  Lời giải chi tiết: Vì $a > 0$ và $b > 0$ nên hai phân số thành phần của tổng đều nhận giá trị dương:

  $\frac{a}{b} > 0$ và $\frac{b}{a} > 0$

  Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương này, ta được:

  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}$

  Nhận thấy tích hai phân số nghịch đảo trong căn triệt tiêu lẫn nhau và bằng 1:

  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{1} = 2$

  Dấu bằng xảy ra khi hai số hạng bằng nhau:

  $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$

  $a^2 = b^2$

  $a = b$ (do $a, b$ cùng dương).

  Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ bằng 2 khi $a = b$.

• Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức phân thức chặn $M = a + \frac{1}{a - 1}$ với điều kiện hằng số $a > 1$.

  Lời giải chi tiết: Từ điều kiện $a > 1$, ta suy ra đa thức hiệu $a - 1 > 0$.

  Để có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy triệt tiêu phần ẩn ở mẫu, ta thực hiện mẹo tách số hạng ở phần nguyên vế trước như sau:

  $M = (a - 1) + \frac{1}{a - 1} + 1$

  Do $(a - 1)$ và $\frac{1}{a - 1}$ đều là các đại lượng dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số này, ta được:

  $(a - 1) + \frac{1}{a - 1} \geq 2\sqrt{(a - 1) \cdot \frac{1}{a - 1}} = 2\sqrt{1} = 2$

  Cộng thêm hằng số 1 vào cả hai vế của bất đẳng thức:

  $M \geq 2 + 1 = 3$

  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

  $a - 1 = \frac{1}{a - 1}$

  $(a - 1)^2 = 1$

  Do $a - 1 > 0$ nên ta chỉ nhận giá trị cơ số bằng 1:

  $a - 1 = 1$

  $a = 2$ (Giá trị này hoàn toàn thỏa mãn điều kiện $a > 1$).

  Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ bằng 3 khi $a = 2$.

V. Tổng Kết Cẩm Nang Làm Bài

Như vậy, bí quyết cốt lõi để tìm GTLN hoặc GTNN của một biểu thức toán học là các em cần khéo léo biến đổi đưa nó về cấu trúc gồm: Tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm (bình phương, căn bậc hai, trị tuyệt đối) kết hợp với một hằng số. Sau đó, dựa vào tính chất không âm của các biểu thức nền tảng đó để tìm ra biên giới lớn nhất hoặc nhỏ nhất của bài toán.

Đối với các bài toán phân thức phức tạp trong đề thi Tuyển sinh vào 10, hãy luôn nhớ đến kỹ thuật thêm bớt hạng tử để áp dụng bất đẳng thức Cauchy triệt tiêu ẩn số. Việc nắm vững các phương pháp căn bản này sẽ là bệ phóng vững chắc giúp các em chinh phục các bài toán nâng cao sau này.