Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) bằng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) - Toán 9 chuyên đề

10:37:5401/08/2022

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) và bất đẳng thức Bunhiacopxki là những bất đẳng thức phổ biến được sử dụng ở bậc THCS và THPT trong vận dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức.

Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất bằng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) cũng là một trong những dạng bài tập gây khá nhiều khó khăn cho các em. Chính vì vậy mà chúng ta sẽ tìm hiểu cách sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm GTNN, GTLN của biểu thức qua bài viết này.

I. Bất đẳng thức Cô-si

• Bất đẳng thức Côsi với 2 số thực không âm (a≥0; b≥0):

$\small \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

• Bất đẳng thức Côsi cho 3 số thực không âm (a≥0; b≥0; c≥0):

$\small \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

• Bất đẳng thức Côsi cho 4 số thực không âm (a≥0; b≥0; c≥0; d≥0):

$\small \small \frac{a+b+c+d}{4}\geq \sqrt[4]{abcd}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

hayhochoi vn

• Bất đẳng thức Côsi với n số thực không âm (a₁≥0, a₂≥0,...,a_n≥0):

$\small \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a₁ = a₂ = ... = a_n

Bất đẳng thức này còn có thể được phát biểu dưới dạng:

$\small a_1+a_2+...+a_n\geq n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$

hay: $\small \left (\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \right )^n\geq a_1a_2...a_n$

II. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng bất đẳng thức Cô-si

* Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (gtnn) của biểu thức:

$\small A=2x+\frac{3}{x}$ với x>0.

* Lời giải:

- Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số 2x > 0 và (3/x) > 0 ta có:

$\small 2x+\frac{3}{x}\geq 2.\sqrt{2x.\frac{3}{x}}=2\sqrt{6}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\small 2x=\frac{3}{x}\Leftrightarrow 2x^2=3\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Vậy $\small Min(A)=2\sqrt{6}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

* Bài tập 2: Cho x>0, y>0 thỏa điều kiện $\small \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$\small B=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

* Lời giải:

- Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số 1/x>0, 1/y>0 ta có:

$\small \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$ $\small \Leftrightarrow \frac{1}{2}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}\Leftrightarrow \sqrt{xy}\geq 4$

- Ta tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số $\small \sqrt{x}>0, \: \sqrt{y}>0$ ta có:

$\small \sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 2\sqrt{\sqrt{xy}}\geq 2\sqrt{4}=4$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\small \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\sqrt{y}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=4$

Vậy Min(B) = 4 khi x = y = 4.

* Bài tập 3: Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$\small A=\frac{1}{(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )}$

* Lời giải:

- Ta xét: $\small P=(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )$

Khi đó A đạt GTLN khi P đạt GTNN.

- Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương a, b ta được:

$\small a+b\geq 2\sqrt{ab}$ (*)

- Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 1/a và 1/b ta được

$\small \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}$ (**)

Nhân 2 vế (*) và (**) ta được:

$\small (a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 2\sqrt{ab}.\frac{2}{\sqrt{ab}}=4$

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Khi đó Min(P) = 4

Suy ra: MaxA = 1/4 đạt được khi a = b.

* Bài tập 4: Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

$\small B=\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )$

* Bài tập 5: Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$\small C=\frac{1}{(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )}$

* Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

$\small a)\: \frac{x^2}{x^4+1}$ $\small b)\: \frac{y^2+2}{\sqrt{y^2+1}}$

Hy vọng với bài viết về Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất bằng bất đẳng thức Cô-si toán lớp 9 ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để Hay-Học-Hỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) bằng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) - Toán 9 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét