Bài 3 trang 34 Toán 9 tập 1 Cánh Diều

Đề bài:

a) Cho a > b > 0. Chứng minh: $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

b) Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $\frac{2022}{2023}$ và $\frac{2023}{2024}$.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Chứng minh bất đẳng thức:

Ta cần chứng minh $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ với a > b > 0. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp xét hiệu hoặc biến đổi trực tiếp từ giả thiết.

b) Áp dụng để so sánh:

Sử dụng kết quả của câu a), ta sẽ so sánh hai phân số $\frac{2022}{2023}$ và $\frac{2023}{2024}$. Ta có thể biến đổi hai phân số này về dạng $1 - \frac{1}{A}$ để áp dụng kết quả đã chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ với a > b > 0

Xét hiệu $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$:

$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a}{ab} - \frac{b}{ab} = \frac{a - b}{ab}$

Vì a > b > 0 nên a – b > 0 và ab > 0.

Suy ra $\frac{a-b}{ab} > 0$ hay $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} > 0$

Vậy $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$ nên $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.

b) Áp dụng kết quả trên để so sánh $\frac{2022}{2023}$ và $\frac{2023}{2024}$

Ta biến đổi hai phân số:

$\frac{2022}{2023} = \frac{2023 - 1}{2023} = 1 - \frac{1}{2023}$

$\frac{2023}{2024} = \frac{2024 - 1}{2024} = 1 - \frac{1}{2024}$

Theo câu a), ta có bất đẳng thức:

Nếu a > b > 0 thì $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

Áp dụng cho a = 2024 và b = 2023, ta thấy a > b > 0, nên:

$\frac{1}{2024} < \frac{1}{2023}$

Nhân cả hai vế với -1, bất đẳng thức đổi chiều:

$-\frac{1}{2024} > -\frac{1}{2023}$

Cộng 1 vào cả hai vế:

$1 - \frac{1}{2024} > 1 - \frac{1}{2023}$

Suy ra $\frac{2023}{2024} > \frac{2022}{2023}$

Vậy, $\frac{2022}{2023} < \frac{2023}{2024}$.