Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) bằng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) - Toán 9 chuyên đề

Trong bài viết này, HayHocHoi sẽ cùng các em tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết và các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức Cô-si từ cơ bản đến nâng cao.

I. Lý thuyết về bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)

Bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho các số thực không âm.

• Với 2 số thực không âm ($a \ge 0, b \ge 0$):

  $$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

  Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.

• Với 3 số thực không âm ($a, b, c \ge 0$):

  $$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$$

  Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.

• Với $n$ số thực không âm ($a_1, a_2, \dots, a_n \ge 0$):

  $$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}$$

  Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

Hệ quả quan trọng:

1. Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

2. Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

II. Bài tập tìm GTNN, GTLN bằng bất đẳng thức Cô-si

Bài tập 1: Tìm GTNN của biểu thức $A = 2x + \frac{3}{x}$ với $x > 0$.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $2x$ và $\frac{3}{x}$, ta có:

Dấu "=" xảy ra khi: $2x = \frac{3}{x} \Leftrightarrow 2x^2 = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ (vì $x > 0$).

Kết luận: $\min A = 2\sqrt{6}$ khi $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Bài tập 2: Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$. Tìm GTNN của $B = \sqrt{x} + \sqrt{y}$.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$:

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$:

Dấu "=" xảy ra khi $x = y = 4$.

Kết luận: $\min B = 4$ khi $x = y = 4$.

Bài tập 3: Cho $a, b$ là các số dương. Tìm GTLN của $A = \frac{1}{(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)}$.

Lời giải:

Xét biểu thức dưới mẫu: $P = (a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$. Biểu thức $A$ đạt GTLN khi $P$ đạt GTNN.

• Áp dụng Cô-si cho $(a+b)$: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ (1).

• Áp dụng Cô-si cho $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$ (2).

  Nhân vế với vế của (1) và (2), ta được: $P \ge 2\sqrt{ab} \cdot \frac{2}{\sqrt{ab}} = 4$.

  Dấu "=" xảy ra khi $a = b$. Khi đó $\min P = 4 \Rightarrow \max A = \frac{1}{4}$.

  Kết luận: $\max A = \frac{1}{4}$ khi $a = b$.

III. Bài tập tự luyện

Để rèn luyện kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cô-si, các em hãy thực hiện các bài tập sau:

• Bài tập 4: Cho $a, b, c$ là các số dương. Tìm GTNN của:

  $B = \left(1 + \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right)$

• Bài tập 5: Cho $a, b$ là các số dương. Tìm GTLN của:

  $C = \frac{1}{(1+ab)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)}$

• Bài tập 6: Tìm GTLN của các biểu thức:

  a) $M = \frac{x^2}{x^4 + 1}$

  b) $N = \frac{y^2 + 2}{\sqrt{y^2 + 1}}$