Các dạng bài tập hàm số bậc nhất và Bài tập vận dụng (cực hay) - Toán 9 chuyên đề

Hàm số bậc nhất được cho bởi công thức $y = ax + b$ với $a \neq 0$. Khi $b = 0$, hàm số có dạng đặc biệt $y = ax$. Để giúp các em nắm vững phương pháp giải, bài viết này sẽ tổng hợp chi tiết lý thuyết và các dạng bài tập vận dụng có lời giải từ cơ bản đến nâng cao.

I. Hàm số bậc nhất - Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = ax + b$ trong đó $a, b$ là các số cho trước và $a \neq 0$.

2. Tính chất hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ($a \neq 0$) xác định với mọi giá trị của $x \in \mathbb{R}$:

• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a > 0$.

• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $a < 0$.

3. Đồ thị của hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số $y = ax + b$ ($a \neq 0$) là một đường thẳng:

• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b$ (điểm $(0; b)$).

• Song song với đường thẳng $y = ax$ nếu $b \neq 0$ và trùng với đường thẳng $y = ax$ nếu $b = 0$.

• Hệ số góc: $a$.

• Tung độ gốc: $b$.

4. Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục Ox

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) và trục Ox:

• Nếu $a > 0$: $\alpha$ là góc nhọn, ta có $\tan\alpha = a$.

• Nếu $a < 0$: $\alpha$ là góc tù. Ta đặt $\beta = 180^\circ - \alpha$ (góc kề bù), khi đó $\tan\beta = |a|$. Ta tính được $\beta$ rồi suy ra $\alpha = 180^\circ - \beta$.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho đường thẳng $(d): y = ax + b$ ($a \neq 0$) và $(d'): y = a'x + b'$ ($a' \neq 0$):

• $(d)$ cắt $(d')$ khi $a \neq a'$.

• $(d)$ song song với $(d')$ khi $a = a'$ và $b \neq b'$.

• $(d)$ trùng với $(d')$ khi $a = a'$ và $b = b'$.

• $(d)$ vuông góc với $(d')$ khi $a \cdot a' = -1$.

II. Bài tập hàm số bậc nhất một ẩn có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2) và có hệ số góc là 3.

Lời giải:

Phương trình đường thẳng có hệ số góc là 3 (tức hệ số $a = 3$) có dạng tổng quát là: $y = 3x + b$.

Vì đường thẳng này đi qua điểm $M(1;2)$, ta thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình trên:

$2 = 3 \cdot 1 + b$

Từ đó ta tính được: $b = 2 - 3 = -1$.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = 3x - 1$.

Bài tập 2: Xác định tham số để hai đường thẳng cắt nhau trên trục hoành.

Cho đường thẳng $(d_1): y = -x + 2$ và đường thẳng $(d_2): y = 2x + m - 3$. Xác định $m$ để $(d_1)$ cắt $(d_2)$ tại điểm nằm trên trục hoành.

Lời giải:

Ta thấy $(d_1)$ luôn cắt $(d_2)$ vì hệ số góc $a_1 = -1$ khác $a_2 = 2$.

Đường thẳng $(d_1): y = -x + 2$ cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng 0. Thay $y = 0$ vào phương trình $(d_1)$:

$0 = -x + 2$ suy ra $x = 2$.

Vậy giao điểm của $(d_1)$ với trục hoành là $A(2;0)$.

Để $(d_1)$ cắt $(d_2)$ tại một điểm trên trục hoành thì điểm $A(2;0)$ cũng phải thuộc đường thẳng $(d_2)$. Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình $(d_2)$ ta có:

$0 = 2 \cdot 2 + m - 3$

$0 = 4 + m - 3$

$m + 1 = 0$ suy ra $m = -1$.

Vậy với $m = -1$, hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm (2;0) nằm trên trục hoành.

Bài tập 3: Xét tính đơn điệu, sự song song và điểm cố định.

Cho các hàm số$y = 2mx + m + 1$(1) và hàm số$y = (m - 1)x + 3$(2).

a) Xác định$m$để hàm số (1) đồng biến, hàm số (2) nghịch biến.

b) Xác định$m$để đồ thị hàm số (1) song song với đồ thị hàm số (2).

c) Chứng minh đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi $m$.

Lời giải:

a) Hàm số (1) đồng biến khi hệ số $a > 0$, tức là $2m > 0$, suy ra $m > 0$.

Hàm số (2) nghịch biến khi hệ số $a < 0$, tức là $m - 1 < 0$, suy ra $m < 1$.

Để thỏa mãn cả hai điều kiện, giá trị $m$ cần tìm là: $0 < m < 1$.

b) Để đồ thị hàm số (1) song song với đồ thị hàm số (2), các hệ số phải thỏa mãn:

$2m = m - 1$ và $m + 1 \neq 3$.

Giải phương trình $2m = m - 1$ ta được $m = -1$.

Kiểm tra điều kiện $m + 1 \neq 3$: Với $m = -1$ thì $-1 + 1 = 0$ (khác 3, thỏa mãn).

Vậy $m = -1$ là giá trị cần tìm.

c) Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định mà đồ thị (1) luôn đi qua. Ta có phương trình:

$y_0 = 2mx_0 + m + 1$ đúng với mọi $m$.

Biến đổi phương trình về dạng: $m(2x_0 + 1) + (1 - y_0) = 0$.

Để phương trình đúng với mọi $m$, các hệ số của $m$ và số hạng tự do phải bằng 0:

$2x_0 + 1 = 0$ suy ra $x_0 = -1/2$.

$1 - y_0 = 0$ suy ra $y_0 = 1$.

Vậy đồ thị hàm số (1) luôn đi qua điểm cố định $M(-1/2; 1)$.

Bài tập 4: Vị trí tương đối giữa các đường thẳng.

Cho hàm số $y = (m - 3)x + m + 2$ (d).

a) Tìm $m$ để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3.

b) Tìm $m$ để (d) song song với $(d_1): y = -2x + 1$.

c) Tìm $m$ để (d) vuông góc với $(d_2): y = 2x - 5$.

Lời giải:

a) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = -3$ khi $x = 0$. Thay tọa độ (0; -3) vào (d):

$-3 = (m - 3) \cdot 0 + m + 2$ suy ra $m = -5$.

b) Để $(d) // (d_1)$, ta cần:

$m - 3 = -2$ và $m + 2 \neq 1$.

Giải $m - 3 = -2$ được $m = 1$. Kiểm tra $1 + 2 = 3$ (khác 1, thỏa mãn).

Vậy $m = 1$.

c) Để $(d) \perp (d_2)$, tích hai hệ số góc phải bằng -1:

$(m - 3) \cdot 2 = -1$

$2m - 6 = -1$

$2m = 5$ suy ra $m = 5/2$.

Bài tập 5: Tọa độ giao điểm trong góc phần tư.

Cho hàm số $y = 2x + m$ (1). Xác định $m$ để (1) cắt $y = 3x - 2$ tại điểm nằm trong góc phần tư thứ IV.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

$2x + m = 3x - 2$ suy ra $x = m + 2$.

Thay $x = m + 2$ vào phương trình $y = 3x - 2$, ta có: $y = 3(m + 2) - 2 = 3m + 4$.

Điểm giao điểm nằm trong góc phần tư thứ IV khi $x > 0$ và $y < 0$:

$m + 2 > 0$ suy ra $m > -2$.

$3m + 4 < 0$ suy ra $m < -4/3$.

Vậy giá trị $m$ cần tìm là: $-2 < m < -4/3$.

Bài tập 6: Tính góc, khoảng cách và diện tích.

Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (d) của nó đi qua điểm A(4;0) và B(0;3).

a) Vẽ đồ thị hàm số (d) vừa tìm được và tính góc α tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox.

b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d)

c) Tính diện tích tam giác OAB

Lời giải:

a) Vì đồ thị đi qua $B(0;3)$ nên $b = 3$. Thay $A(4;0)$ và $b = 3$ vào phương trình:

$0 = a \cdot 4 + 3$ suy ra $a = -3/4$.

Hàm số là: $y = -3/4x + 3$.

Tính góc: Hệ số góc $a = -3/4$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi (d) và Ox.

Vì $a < 0$ nên $\alpha$ là góc tù. Gọi $\beta$ là góc nhọn kề bù với $\alpha$.

$\tan \beta = |a| = 3/4$, suy ra $\beta \approx 36^\circ 52'$.

Góc $\alpha = 180^\circ - 36^\circ 52' \approx 143^\circ 8'$.

b) Khoảng cách: Trong tam giác vuông $OAB$, kẻ đường cao $OH$ xuống cạnh huyền $AB$.

$\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ $= \frac{1}{4^2} + \frac{1}{3^2} = \frac{25}{144}$.

Suy ra $OH = 12/5 = 2,4$.

c) Diện tích: $S = 1/2 \cdot OA \cdot OB = 1/2 \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (đvdt).

III. Bài tập hàm số bậc nhất tự luyện

Bài tập 1: Cho hàm số $y = (2m + 1)x + m + 4$ (d).

a) Tìm $m$ để (d) đi qua điểm $A(-1;2)$.

b) Tìm $m$ để (d) song song với $y = 5x + 1$.

c) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm cố định.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = (m + 5)x + 2m - 10$.

a) Tìm $m$ để hàm số đồng biến.

b) Tìm $m$ để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.

c) Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ tới đường thẳng là lớn nhất.

Bài tập 3: Cho hàm số $y = (2m - 3)x + m - 5$.

a) Xác định $m$ để đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

b) Xác định $m$ để đồ thị tạo với trục hoành một góc $135^\circ$.