Cách giải phương trình bậc 4 và bài tập vận dụng - Toán 9 chuyên đề

Trong phạm vi bài viết này, HayHocHoi sẽ hướng dẫn các em cách giải 3 dạng phương trình bậc 4 đặc biệt phổ biến nhất cùng các bài tập vận dụng có lời giải.

I. Các dạng phương trình bậc 4 đặc biệt và cách giải

1. Phương trình trùng phương

Dạng tổng quát: $ax^4 + bx^2 + c = 0$ ($a \neq 0$).

• Cách giải: Đặt ẩn phụ $t = x^2$ (điều kiện $t \ge 0$).

• Phương trình trở thành phương trình bậc hai: $at^2 + bt + c = 0$.

• Giải tìm $t$, đối chiếu điều kiện $t \ge 0$ rồi suy ra $x = \pm\sqrt{t}$.

2. Phương trình dạng $(x + a)^4 + (x + b)^4 = c$

• Cách giải: Đặt ẩn phụ là trung bình cộng của $a$ và $b$: $t = x + \frac{a+b}{2}$.

• Khi đó: $x + a = t + \frac{a-b}{2}$ và $x + b = t - \frac{a-b}{2}$.

• Khai triển và rút gọn, phương trình sẽ đưa về dạng trùng phương theo biến $t$:

  $$2t^4 + 12\left(\frac{a-b}{2}\right)^2t^2 + 2\left(\frac{a-b}{2}\right)^4 = c$$

3. Phương trình bậc 4 đối xứng (Phương trình hồi quy)

Dạng tổng quát: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ ($a \neq 0$).

• Cách giải:

  • Vì $x = 0$ không là nghiệm, chia cả hai vế cho $x^2$.

  • Nhóm các hạng tử: $a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$.

  • Đặt ẩn phụ $t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ (với $|t| \ge 2$).

  • Giải phương trình bậc hai theo $t$, sau đó tìm $x$.

II. Bài tập vận dụng giải phương trình bậc 4

Bài tập 1: Giải phương trình đối xứng $2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$ $(*)$

Lời giải:

Chia hai vế cho $x^2 \neq 0$, ta được:

Đặt $t = x + \frac{1}{x}$, phương trình trở thành:

Phương trình có hai nghiệm: $t_1 = 1$ (Loại vì $|t| \ge 2$) và $t_2 = -\frac{5}{2}$ (Thỏa mãn).

Với $t = -\frac{5}{2} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2} \Leftrightarrow 2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Giải phương trình bậc hai theo $x$, ta được: $x_1 = -\frac{1}{2}; x_2 = -2$.

Kết luận: Tập nghiệm $S = \{-1/2; -2\}$.

Bài tập 2: Giải phương trình trùng phương $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = x^2$ ($t \ge 0$). Ta có phương trình: $t^2 + 7t - 8 = 0$.

Vì $a+b+c = 1+7-8 = 0$ nên $t_1 = 1$ (thỏa mãn) và $t_2 = -8$ (loại).

Với $t = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = \pm 1$.

Bài tập 3: Giải phương trình $(x + 2)^4 + (x + 6)^4 = 32$

Lời giải:

Đặt $t = x + \frac{2+6}{2} = x + 4$. Khi đó phương trình trở thành:

Khai triển hằng đẳng thức và rút gọn:

Vì $t^2 + 24 > 0$ nên $t^2 = 0 \Leftrightarrow t = 0$.

Với $t = 0 \Rightarrow x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -4$.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = -4$.

III. Bài tập tự luyện

Để rèn luyện kỹ năng, các em hãy thực hiện các bài tập sau:

• Bài tập 4: Giải phương trình $(x - 2)^4 + (x + 1)^4 = 17$.

• Bài tập 5: Giải phương trình đối xứng $x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0$.

• Bài tập 6: Giải phương trình trùng phương $x^4 - 16x^2 + 8 = 0$.

Lưu ý quan trọng:

• Trong phương trình đối xứng, nếu $x_0$ là nghiệm thì $\frac{1}{x_0}$ cũng là nghiệm.

• Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có một nghiệm là $x = -1$.