Cách giải phương trình bậc 4 và bài tập vận dụng - Toán 9 chuyên đề

Vậy cách giải phương trình bậc 4 cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này và vận dụng giải một số bài tập phương trình bậc 4 để hiểu rõ hơn.

I. Cách giải phương trình bậc 4

1) Cách giải phương trình bậc 4 dạng trùng phương

 Phương trình trùng phương có dạng: ax⁴ + bx² + c = 0

* Cách giải:

Để giải phương trình bậc 4 trùng phương ta đặt ẩn phụ: t = x² (t≥0).

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích cực hay

2) Cách giải phương trình bậc 4 dạng: (x + a)⁴ + (x + b)⁴ = c

* Cách giải:

Để giải phương trình bậc 4 dạng này ta đặt ẩn phụ: 

Suy ra: 

Khi đó phương trình có dạng:

Đặt u = t² điều kiện u≥0, khi đó phương trình có dạng:

Giải phương trình bậc 2 này đối chiếu điều kiện nghiệm.

3) Cách giải phương trình bậc 4 dạng đối xứng

 Phương trình bậc 4 dạng đối xứng: ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0

* Cách giải:

Để giải phương trình bậc 4 dạng này ta đặt ẩn phụ:

II. Bài tập giải phương trình bậc 4

* Bài tập 1: Giải phương trình bậc 4 đối xứng sau:

 2x⁴ + 3x³ - x² + 3x + 2 = 0 (*) 

* Lời giải:

Phương trình này là phương trình với các hệ số có tính đối xứng.

Ta thấy, x = 0 không là nghiệm của phương trình (*) nên ta chia 2 vế của (*) cho x² ta được:

Đặt:  ta có:

 2(t² - 2) + 3t - 1 = 0

⇔ 2t² + 3t - 5 = 0

⇔ (t - 1).(t + 5/2) = 0

⇔ t - 1 = 0 hoặc t + 5/2 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = -5/2

+) Với t = 1, ta có: 

Có Δ_x = (-1)² - 4.1.1 = 5 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

+) Với t =-5/2, ta có: 

Có Δ_x = 5² - 4.2.2 = 9 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết luận: Phương trình (*) có tập nghiệm:

* Lưu ý: 

a) Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm.

b) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1.

c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ t = x + 1/x

* Bài tập 2: Giải phương trình bậc 4 trùng phương sau: x⁴ + 7x² - 8 = 0 (*)

* Lời giải:

- Ta đặt t = x² (điều kiện: t≥0).

Phương trình (*) ⇔ t² + 7t - 8 = 0

Phương trình bậc 2 này có a + b + c = 1 + 7 - 8 = 0

nên có nghiệm t₁ = 1 (thỏa) và t₂ = c/a = -8 (loại)

Với t = t₁ = 1 ta có: x² = 1 ⇒ x = ±1.

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm là x_1,2 = ±1.

* Bài tập 3: Giải phương trình bậc 4 sau:

 (x + 2)⁴ + (x + 6)⁴ = 32 (*)

* Lời giải:

- Ta đặt: 

Suy ra: 

Khi đó

Khi đó, phương trình (1) được chuyển về dạng:

2t⁴ + 48t² = 0

⇔ 2t²(t² + 24) = 0

⇔ t = 0

Suy ra: x = -4

* Bài tập 4: Giải phương trình bậc 4 sau:

 (x - 2)⁴ + (x + 1)⁴ = 17

* Bài tập 5: Giải phương trình bậc 4 sau:

 x⁴ - 5x³ + 8x² - 5x + 1 = 0

* Bài tập 6: Giải phương trình bậc 4 sau:

 x⁴ - 16x² + 8 = 0