Cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích - Toán lớp 9

Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax⁴ + bx² + c = 0) và phương trình tích cụ thể như  thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay

° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

* Phương pháp giải:

• Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,...) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

• Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

» xem thêm: Cách giải phương trình bâc 2 chứa ẩn ở mẫu cực hay 

* Ví dụ 1: Giải phương trình

a) (x - 3)(x² - 3x + 2) = 0

b) x³ + 3x² - 2x - 6 = 0

° Lời giải:

a) (x - 3)(x² - 3x + 2) = 0

⇔ x - 3 = 0 hoặc x² - 3x + 2 = 0

+) x - 3 = 0 ⇔ x₁ = 3

+) x² - 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x₂ = 1; x₃ = c/a = 2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x₁ = 3; x₂ = 1; x₃ = 2.

b) x³ + 3x² - 2x - 6 = 0

⇔ x²(x + 3) - 2(x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(x² - 2) = 0

⇔ x + 3 = 0 hoặc x² - 2 = 0

+) x + 3 = 0 ⇔ x₁ = -3

+) x² - 2 = 0 ⇔  ; 

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

* Ví dụ 2 (Bài 36 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0;

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0.

° Lời giải:

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0;

⇔ 3x² – 5x + 1 = 0 hoặc x² – 4 = 0

+)Giải: 3x² – 5x + 1 = 0

- Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = (-5)² – 4.3 = 13 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm: 

+)Giải: x² – 4 = 0

⇔ (x - 2)(x + 2) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

 ; x₃ = 2; x₄ = -2

- Hay tập nghiệm của phương trình là: 

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

⇔ (2x² + x – 4 – 2x + 1)(2x² + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ (2x² – x – 3)(2x² + 3x – 5) = 0

⇔ 2x² – x – 3 = 0 hoặc 2x² + 3x – 5 = 0

+) Giải: 2x² – x – 3 = 0

- Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+) Giải: 2x² + 3x – 5 = 0

- Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x₁ = -1; x₂ =  3/2; x₃ = 1; x₄ = -5/2.

- Hay tập nghiệm của phương trình là: 

° Cách giải phương trình trùng phương ax⁴ +bx² + c = 0 (a≠0).

* Phương pháp giải 1: Đặt ẩn phụ cho pt: ax⁴ + bx² + c = 0 (a≠0) (1)

• Đặt t = x² (t≥0), khi đó ta được phương trình at² + bt + c = 0 (2)

- Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

- Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

- Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

• Cụ thể như sau:

- Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

- Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có một một nghiệm kép dương hoặc 2 nghiệm trái dấu ⇔ hoặc  ⇔  hoặc 

- Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm  hoặc 

- Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm  hoặc 

- Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.

* Phương pháp giải 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.

- Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

* Ví dụ 1(Bài 34 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương:

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

° Lời giải:

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0  (1)

- Đặt t = x², điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : t² – 5t + 4 = 0 (2)

- Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 4

- Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

- Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0; (1)

- Đặt t = x², điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 2t² – 3t – 2 = 0 (2)

- Giải (2) : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2 ⇒ Δ = (-3)² - 4.2.(-2) = 25 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm:  

- Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t₁ = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

- Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0 (1)

- Đặt t = x² , điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 3t² + 10t + 3 = 0 (2)

- Giải (2): Có a = 3; b' = 5; c = 3 ⇒ Δ’ = 5² – 3.3 = 16 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t₁ = -1/3 <0 và t₂ = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0 

b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x²

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0

d) 

° Lời giải:

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0 (1)

- Đặt t = x², điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 9t² – 10t + 1 = 0 (2)

+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 1/9.

- Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.

+ Với t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

+ Với t = 1/9 ⇒ x² = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3. 

• Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm 

b) 5x⁴ + 2x² – 16 = 10 – x²

⇔ 5x⁴ + 2x² – 16 – 10 + x² = 0

⇔ 5x⁴ + 3x² – 26 = 0 (1)

- Đặt t = x² , điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 5t² + 3t – 26 = 0 (2)

+ Giải (2): Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26 ⇒ Δ = 3² – 4.5.(-26) = 529 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Đối chiếu điều kiện chỉ có t₁ thỏa điều kiện, nên:

+ Với t = 2 ⇒ x² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0 (1)

- Đặt t = x², điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó, (1) trở thành : 0,3t² + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t₁ = -1 và t₂ = -c/a = -5.

- Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.

⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

d)  (*)

- Điều kiện xác định: x ≠ 0.

- Quy đồng, khử mẫu ta được:

(*) ⇔ 2x⁴ + x² = 1 – 4x²

 ⇔ 2x⁴ + x² + 4x² – 1 = 0

 ⇔ 2x⁴ + 5x² – 1 = 0 (1)

- Đặt t = x², điều kiện t > 0 (do x ≠ 0).

- Khi đó (1) trở thành : 2t² + 5t – 1 = 0 (2)

+ Giải (2): Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1 ⇒ Δ = 5² – 4.2.(-1) = 33 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Đối chiếu với điều kiện t >0 thấy có nghiệm t₁ thỏa mãn, nên:

+ Với 

• Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm

° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương

* Bài 1: Giải các phương trình sau

a) x⁴ - 22x² - 8x +77 = 0

b) x⁴ - 6x³ + 8x² + 2x - 1 = 0

c) x⁴ + 2x³ - 5x² + 6x - 3 = 0