Hotline 0939 629 809

Cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích - Toán lớp 9

15:55:4730/05/2020

Để giải phương trình bậc 4 trùng phương chúng ta có 2 phương pháp để giải, cách thứ nhất là đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc 2, cách thứ hai là đưa về phương trình tích.

Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax4 + bx2 + c = 0) và phương trình tích cụ thể như  thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

* Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,...) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

- Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

* Ví dụ 1: Giải phương trình

a) (x - 3)(x2 - 3x + 2) = 0

b) x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0

° Lời giải:

a) (x - 3)(x2 - 3x + 2) = 0

⇔ x - 3 = 0 hoặc x2 - 3x + 2 = 0

+) x - 3 = 0 ⇔ x1 = 3

+) x2 - 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x2 = 1; x3 = c/a = 2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 = 3; x2 = 1; x3 = 2.

b) x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0

⇔ x2(x + 3) - 2(x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(x2 - 2) = 0

⇔ x + 3 = 0 hoặc x2 - 2 = 0

+) x + 3 = 0 ⇔ x1 = -3

+) x2 - 2 = 0 ⇔  ; 

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

hayhochoi

* Ví dụ 2 (Bài 36 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình

a) (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;

b) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0.

° Lời giải:

a) (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;

⇔ 3x2 – 5x + 1 = 0 hoặc x2 – 4 = 0

+)Giải: 3x2 – 5x + 1 = 0

- Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = (-5)2 – 4.3 = 13 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm: 

+)Giải: x2 – 4 = 0

⇔ (x - 2)(x + 2) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

 ; x3 = 2; x4 = -2

- Hay tập nghiệm của phương trình là: 

b) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0

⇔ (2x2 + x – 4 – 2x + 1)(2x2 + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ (2x2 – x – 3)(2x2 + 3x – 5) = 0

⇔ 2x2 – x – 3 = 0 hoặc 2x2 + 3x – 5 = 0

+) Giải: 2x2 – x – 3 = 0

- Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+) Giải: 2x2 + 3x – 5 = 0

- Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1 = -1; x2 =  3/2; x3 = 1; x4 = -5/2.

- Hay tập nghiệm của phương trình là: 

° Cách giải phương trình trùng phương ax4 +bx2 + c = 0 (a≠0).

* Phương pháp giải 1: Đặt ẩn phụ cho pt: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0) (1)

• Đặt t = x2 (t≥0), khi đó ta được phương trình at2 + bt + c = 0 (2)

- Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

- Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

- Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

• Cụ thể như sau:

- Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

- Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có một một nghiệm kép dương hoặc 2 nghiệm trái dấu ⇔ hoặc  ⇔  hoặc 

- Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm  hoặc 

- Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm  hoặc 

- Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.

* Phương pháp giải 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.

- Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

* Ví dụ 1(Bài 34 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương:

a) x4 – 5x2 + 4 = 0

b) 2x4 – 3x2 – 2 = 0

c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0

° Lời giải:

a) x4 – 5x2 + 4 = 0  (1)

- Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : t2 – 5t + 4 = 0 (2)

- Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 4

- Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

- Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

b) 2x4 – 3x2 – 2 = 0; (1)

- Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 2t2 – 3t – 2 = 0 (2)

- Giải (2) : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2 ⇒ Δ = (-3)2 - 4.2.(-2) = 25 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm:  

- Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t1 = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

- Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0 (1)

- Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 3t2 + 10t + 3 = 0 (2)

- Giải (2): Có a = 3; b' = 5; c = 3 ⇒ Δ’ = 52 – 3.3 = 16 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

  

- Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t1 = -1/3 <0 và t2 = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương

a) 9x4 – 10x2 + 1 = 0 

b) 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2

c) 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0

d) 

° Lời giải:

a) 9x4 – 10x2 + 1 = 0 (1)

- Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 9t2 – 10t + 1 = 0 (2)

+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 1/9.

- Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.

+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

+ Với t = 1/9 ⇒ x2 = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3. 

• Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm 

b) 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2

⇔ 5x4 + 2x2 – 16 – 10 + x2 = 0

⇔ 5x4 + 3x2 – 26 = 0 (1)

- Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó (1) trở thành : 5t2 + 3t – 26 = 0 (2)

+ Giải (2): Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26 ⇒ Δ = 32 – 4.5.(-26) = 529 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 

- Đối chiếu điều kiện chỉ có t1 thỏa điều kiện, nên:

+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.

c) 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 (1)

- Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

- Khi đó, (1) trở thành : 0,3t2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = -1 và t2 = -c/a = -5.

- Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.

⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

d)  (*)

- Điều kiện xác định: x ≠ 0.

- Quy đồng, khử mẫu ta được:

(*) ⇔ 2x4 + x2 = 1 – 4x2

 ⇔ 2x4 + x2 + 4x2 – 1 = 0

 ⇔ 2x4 + 5x2 – 1 = 0 (1)

- Đặt t = x2, điều kiện t > 0 (do x ≠ 0).

- Khi đó (1) trở thành : 2t2 + 5t – 1 = 0 (2)

+ Giải (2): Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1 ⇒ Δ = 52 – 4.2.(-1) = 33 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

  

- Đối chiếu với điều kiện t >0 thấy có nghiệm t1 thỏa mãn, nên:

+ Với 

• Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm

° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương

* Bài 1: Giải các phương trình sau

a) x4 - 22x2 - 8x +77 = 0

b) x4 - 6x3 + 8x2 + 2x - 1 = 0

c) x4 + 2x3 - 5x2 + 6x - 3 = 0

* Bài 2: Giải các phương trình sau

a) 5x4 + 3x2 - 2 = 0

b) x4 - 5x2 + 6 = 0

c) 2x4 - 3x2 - 2 = 0

Hy vọng với bài viết về cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích ở trên giúp các em hiểu và vận dụng tốt để giải các dạng toán tương tự, chúc các em học tập tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
Mai Phương Thùy
Add ơi giúp e bài này vs ạ X^4 -2(m-1)x^2 +m+3=0 Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm, đúng 2 nghiệm, đúng 3 nghiệm, đúng 0 nghiệm
Trả lời -
3 ngày trước
captcha
...
Vàng a anh
Ad ơi ở VD2 ý a: với t=1/9 => x2 = 1/9 => x=+- 1/3 là sao ạ
Trả lời -
10/07/2021 - 21:16
...
Admin
Chỗ này em đặt t=x^2 mà, vậyt = 1/9 suy ra x^2 = 1/9 = (1/3)^2 hoặc (-1/3)^2 do đó được x=+-1/3 đó em
15/07/2021 - 11:23
captcha
...
Trần thương
Cho em hỏi là tại sao phần pt trùng phương ở vd b)tại sao t1 lại bằng b+✓∆2a chứ không phải là -b+✓∆2a như trong sách ạ
Trả lời -
06/06/2021 - 18:19
...
Admin
Em làm theo sách nhé, việc t1 và t2 ad viết có nghĩa tương đối thôi em nhé, không ảnh hưởng kết quả chung ở bài này
11/06/2021 - 10:09
captcha
...
Tuấn Anh
ad cho e hỏi lại tại sao pt có 2 nghiệm lại tương đương như thế kia ạ
Trả lời -
10/05/2021 - 16:52
...
Admin
Em cần chỉ cụ thể chỗ hỏi ở mục nào, vị trí nào trong bài viết để ad biết trả lời em nhé
13/05/2021 - 10:31
captcha
...
Gia khang
Rất hay và dễ hiểu
Trả lời -
06/05/2021 - 20:24
captcha
...
Ngọc Luyến
cho e hỏi khi nào cần điều kiện khi nào thì k cần ạ ?
Trả lời -
30/03/2021 - 20:01
...
Admin
Chào em, các phương trình có mẫu, có căn thức em cần điều kiện, còn pt trùng phương khi đặt t=x^2 thì điều kiện là t>=0 nhé. Em cứ vận dụng như hướng dẫn bài viết.
04/04/2021 - 17:05
captcha
...
Nhi
Dạ cho em hỏi x^2 = 2 thì x= căn 2 ạ và số nào cũng bằng căn ạ vd thêm như là x^2=5 => x= căn 5 ạ
Trả lời -
05/03/2021 - 10:01
...
Admin
Chào em, x^2=2 <=> x = căn 2 hoặc x = - căn 2 nhé em, tương tự x = căn 5 hoặc x = -căn 5. Em cần xem lại định nghĩa, x^2 = a thì x = căn a hoặc x =- căn a.
05/03/2021 - 20:11
captcha
...
NGUYỄN THỊ ANH THƯ
CÓ THỂ GIAI PT 2B BÀI 1 K Ạ
Trả lời -
30/11/2020 - 00:16
...
Admin
Em cứ vận dụng phương pháp đã được hướng dẫn ở trên, rồi thử lại nghiệm xem đúng chưa. Chỗ nào chưa hiểu thì hỏi nhé!
04/12/2020 - 14:09
captcha
...
Phan Thị Trúc
hay quá, Thầy cô cho con xin tài liệu với ạ.
Trả lời -
09/08/2020 - 15:54
...
Admin
Nội dung bài này em chịu khó xem trên website nha em, chúc em học tốt.
12/08/2020 - 19:15
captcha
...
Nguyễn Thế Đăng
Rất hay. ADM cho xin tài liệu với ạ
Trả lời -
16/07/2020 - 15:33
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 13