Cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích Toán 9

1. Cách giải phương trình đưa về phương trình tích

Phương pháp giải

• Bước 1: Biến đổi phương trình ban đầu bằng các phép biến đổi đại số (đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử,...).

• Bước 2: Đưa phương trình về dạng phương trình tích $A(x) \cdot B(x) = 0$.

• Bước 3: Giải phương trình bằng cách cho từng nhân tử bằng 0, tức là $A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$

Ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Giải phương trình:

  a) $(x - 3)(x^2 - 3x + 2) = 0$

  b) $x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 0$

Lời giải:

a) $(x - 3)(x^2 - 3x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x - 3 = 0$ hoặc $x^2 - 3x + 2 = 0$

+) $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x_1 = 3$

+) $x^2 - 3x + 2 = 0$ ta thấy: $a = 1; b = -3; c = 2$ và $a + b + c = 0$ nên phương trình có nghiệm $x_2 = 1; x_3 = \frac{c}{a} = 2$.

• Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là: $x_1 = 3; x_2 = 1; x_3 = 2$.

b) $x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^2(x + 3) - 2(x + 3) = 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x^2 - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3 = 0$ hoặc $x^2 - 2 = 0$

+) $x + 3 = 0 \Leftrightarrow x_1 = -3$

+) $x^2 - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{2}$

• Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm là: $x_1 = -3; x_2 = \sqrt{2}; x_3 = -\sqrt{2}$.

• Ví dụ 2: Giải các phương trình:

  a) $(3x^2 – 5x + 1)(x^2 – 4) = 0$

  b) $(2x^2 + x – 4)^2 – (2x – 1)^2 = 0$

Lời giải:

a) $(3x^2 – 5x + 1)(x^2 – 4) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 – 5x + 1 = 0$ hoặc $x^2 – 4 = 0$

+) Giải: $3x^2 – 5x + 1 = 0 \Rightarrow \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 13 > 0$.

Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}; x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}$

+) Giải: $x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$.

• Kết luận: Phương trình có 4 nghiệm: $S = \left\{ \frac{5+\sqrt{13}}{6}; \frac{5-\sqrt{13}}{6}; 2; -2 \right\}$

b) $(2x^2 + x – 4)^2 – (2x – 1)^2 = 0$

$\Leftrightarrow (2x^2 + x – 4 – 2x + 1)(2x^2 + x – 4 + 2x – 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2x^2 – x – 3)(2x^2 + 3x – 5) = 0$

+) Giải $2x^2 – x – 3 = 0$ ($a – b + c = 0$): $x = -1$ và $x = \frac{3}{2}$.

+) Giải $2x^2 + 3x – 5 = 0$ ($a + b + c = 0$): $x = 1$ và $x = -\frac{5}{2}$.

• Kết luận: $S = \left\{ -1; \frac{3}{2}; 1; -\frac{5}{2} \right\}$

2. Cách giải phương trình trùng phương $ax^4 + bx^2 + c = 0$ ($a \ne 0$)

Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ

• Bước 1: Đặt $t = x^2$ với điều kiện $t \ge 0$

• Bước 2: Thay vào phương trình, ta được phương trình bậc hai theo $t$: $at^2 + bt + c = 0$

• Bước 3: Giải phương trình bậc hai theo $t$, sau đó đối chiếu với điều kiện $t \ge 0$

• Bước 4: Với mỗi nghiệm $t$ thỏa mãn, giải phương trình $x^2 = t$ để tìm nghiệm $x$

Phương pháp 2: Giải trực tiếp bằng cách đưa về phương trình tích

Biến đổi phương trình trùng phương bằng cách phân tích thành nhân tử để đưa về dạng $A(x) \cdot B(x) = 0$.

Ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Giải các phương trình trùng phương:

  a) $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$

  b) $2x^4 – 3x^2 – 2 = 0$

  c) $3x^4 + 10x^2 + 3 = 0$

Lời giải:

a) $x^4 – 5x^2 + 4 = 0$ (1). Đặt $t = x^2$ ($t \ge 0$) $\Rightarrow t^2 – 5t + 4 = 0$.

Có $a+b+c = 1-5+4 = 0 \Rightarrow t_1 = 1; t_2 = 4$.

• Với $t = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

• Với $t = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

• Kết luận: $S = \{-2; -1; 1; 2\}$.

b) $2x^4 – 3x^2 – 2 = 0$ (1). Đặt $t = x^2$ ($t \ge 0$) $\Rightarrow 2t^2 – 3t – 2 = 0$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 > 0$.

$t_1 = 2$ (thỏa mãn); $t_2 = -1/2$ (loại).

• Với $t = 2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$.

• Kết luận: $S = \{-\sqrt{2}; \sqrt{2}\}$.

c) $3x^4 + 10x^2 + 3 = 0$. Đặt $t = x^2$ ($t \ge 0$) $\Rightarrow 3t^2 + 10t + 3 = 0$.

$\Delta' = 5^2 - 3 \cdot 3 = 16 > 0$.

$t_1 = -1/3$ (loại); $t_2 = -3$ (loại).

• Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

• Ví dụ 2: Giải phương trình trùng phương:

  a) $9x^4 – 10x^2 + 1 = 0$

  b) $5x^4 + 2x^2 – 16 = 10 – x^2$

  c) $0,3x^4 + 1,8x^2 + 1,5 = 0$

  d) $2x^2 + 1 = \frac{1}{x^2} - 4$

Lời giải:

a) $9t^2 - 10t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1; t_2 = 1/9 \Rightarrow x = \pm 1; x = \pm 1/3$.

• Kết luận: $S = \{-1; -1/3; 1/3; 1\}$.

b) $5x^4 + 3x^2 - 26 = 0$. Đặt $t=x^2 (t \ge 0) \Rightarrow 5t^2 + 3t - 26 = 0$.

$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26) = 529 \Rightarrow t_1 = 2; t_2 = -26/10$ (loại).

• Với $t = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$.

• Kết luận: $S = \{-\sqrt{2}; \sqrt{2}\}$.

c) $0,3t^2 + 1,8t + 1,5 = 0 \Rightarrow t_1 = -1; t_2 = -5$ (cả hai đều loại).

• Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

d) $2x^2 + 1 = \frac{1}{x^2} - 4 \Leftrightarrow 2x^4 + 5x^2 - 1 = 0$ ($x \ne 0$).

Đặt $t = x^2 (t > 0) \Rightarrow 2t^2 + 5t - 1 = 0$.

$\Delta = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 33 \Rightarrow t_1 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ (thỏa mãn).

• Với $t = \frac{-5 + \sqrt{33}}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{-5 + \sqrt{33}}}{2}$.

• Kết luận: $S = \left\{ -\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2}; \frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2} \right\}$.

3. Các lưu ý khi làm bài

• Điều kiện xác định: Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu hoặc phương trình có điều kiện của ẩn phụ $t$, luôn luôn phải đối chiếu kết quả cuối cùng với điều kiện này

• Kỹ năng nhẩm nghiệm: Đối với phương trình bậc hai $at^2+bt+c=0$, hãy ưu tiên nhẩm nghiệm theo $a+b+c=0$ hoặc $a-b+c=0$ trước khi dùng đến công thức $\Delta$

• Trình bày: Đối với phương trình trùng phương, sau khi tìm được $t$, phải quay lại biến $x$ và kết luận đầy đủ số nghiệm của $x$

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $x^4 - 22x^2 - 8x + 77 = 0$

b) $x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 2x - 1 = 0$

c) $x^4 + 2x^3 - 5x^2 + 6x - 3 = 0$

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) $5x^4 + 3x^2 - 2 = 0$

b) $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$

c) $2x^4 - 3x^2 - 2 = 0$