Định lý pitago và các công thức góc và cạnh trong tam giác vuông Toán 9

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ lý thuyết cốt lõi, bộ công thức tính nhanh cạnh và góc, đồng thời cung cấp kho 10 bài tập vận dụng được giải chi tiết từng bước cực chuẩn.

I. Kiến Thức Trọng Tâm Về Tam Giác Vuông

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$. Quy ước các ký hiệu hằng số đại số: $AB, AC$ là hai cạnh góc vuông; $BC$ là cạnh huyền; $BH, CH$ lần lượt là hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

1. Hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao

• Hệ thức 1 (Định lý hình chiếu): Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

  $$AB^2 = BC \cdot BH$$
  $$AC^2 = BC \cdot CH$$

• Hệ thức 2 (Định lý đường cao): Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

  $$AH^2 = BH \cdot CH$$

• Hệ thức 3: Tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

  $$AB \cdot AC = BC \cdot AH$$

• Hệ thức 4: Nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương của hai cạnh góc vuông.

  $$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}$$

2. Định lý Pitago (Thuận và Đảo)

• Định lý thuận: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

  • Trong tam giác vuông $ABC$ tại $A$:

    $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

  • Trong tam giác vuông $ABH$ tại $H$:

    $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

  • Trong tam giác vuông $ACH$ tại $H$:

    $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$

• Định lý đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, gọi $\alpha$ là góc nhọn $\angle ABC$. Ta có các định nghĩa tỉ số lượng giác đặc trưng:

• Sin (Sờ đi học - Đối chia Huyền):

  $$\sin\alpha = \frac{AC}{BC}$$

• Cos (Cứ khóc hoài - Kề chia Huyền):

  $$\cos\alpha = \frac{AB}{BC}$$

• Tan (Thôi đừng khóc - Đối chia Kề):

  $$\tan\alpha = \frac{AC}{AB}$$

• Cot (Có kẹo đây - Kề chia Đối):

  $$\cot\alpha = \frac{AB}{AC}$$

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:

Nếu hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn điều kiện phụ nhau (tổng số đo bằng 90°), thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia:

Một số tính chất quan trọng của tỉ số lượng giác:

4. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Để tính toán nhanh các cạnh của tam giác vuông khi biết trước một góc nhọn, các em áp dụng quy tắc ngôn ngữ số học sau:

• Cạnh góc vuông = Cạnh huyền $\cdot$ Sin(góc đối)

  $$AC = BC \cdot \sin B$$
  $$AB = BC \cdot \sin C$$

• Cạnh góc vuông = Cạnh huyền $\cdot$ Cos(góc kề)

  $$AC = BC \cdot \cos C$$
  $$AB = BC \cdot \cos B$$

• Cạnh góc vuông 1 = Cạnh góc vuông 2 $\cdot$ Tan(góc đối)

  $$AC = AB \cdot \tan B$$
  $$AB = AC \cdot \tan C$$

• Cạnh góc vuông 1 = Cạnh góc vuông 2 $\cdot$ Cot(góc kề)

  $$AC = AB \cdot \cot C$$
  $$AB = AC \cdot \cot B$$

II. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng Có Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1

Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh: $AB = \mathbf{5cm}$; $AC = \mathbf{12cm}$; $BC = \mathbf{13cm}$.

• a) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tính độ dài đường cao $AH$.

• b) Kẻ $HE$ vuông góc với $AB$ tại $E$, $HF$ vuông góc với $AC$ tại $F$. Chứng minh hệ thức: $AE \cdot AB = AF \cdot AC$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ sau

• a) Ta thực hiện tính bình phương độ dài các cạnh của tam giác đề bài cho:

  $AB^2 = 5^2 = 25$

  $AC^2 = 12^2 = 144$

  $BC^2 = 13^2 = 169$

  Nhận thấy: $25 + 144 = 169$, nghĩa là thỏa mãn đẳng thức số học:

  $BC^2 = AB^2 + AC^2$

  Theo định lý Pitago đảo, tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại đỉnh $A$.

  Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $ABC$ có đường cao $AH$, ta có:

  $AB \cdot AC = BC \cdot AH$

  $AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}\text{ cm}$

  Vậy đường cao $AH = \frac{60}{13}\text{ cm}$.

• b) Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$ ứng với cạnh huyền $AB$, áp dụng hệ thức lượng ta được:

  $AH^2 = AE \cdot AB$ (Đặt đây là hệ thức 1).

  Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HF$ ứng với cạnh huyền $AC$, áp dụng hệ thức lượng ta được:

  $AH^2 = AF \cdot AC$ (Đặt đây là hệ thức 2).

  Từ hệ thức 1 và hệ thức 2, ta thấy cả hai biểu thức tích đều bằng đại lượng trung gian $AH^2$.

  Do đó, ta suy ra: $AE \cdot AB = AF \cdot AC$ (Điều phải chứng minh).

Bài tập 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, biết độ dài các đoạn thẳng ở hình chiếu là $HB = \mathbf{3,6cm}$ và $HC = \mathbf{6,4cm}$.

• a) Tính độ dài các đoạn thẳng $AB, AC, AH$.

• b) Kẻ $HE \perp AB$ tại $E$, $HF \perp AC$ tại $F$. Chứng minh hệ thức $AE \cdot AB = AF \cdot AC$.

Lời giải chi tiết:

• a) Ta tính độ dài toàn bộ cạnh huyền $BC$ bằng tổng hai hình chiếu:

  $BC = HB + HC = 3,6 + 6,4 = 10\text{ cm}$

  Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $ABC$, ta tính các cạnh góc vuông:

  $AB^2 = BC \cdot HB = 10 \cdot 3,6 = 36 \Rightarrow AB = 6\text{ cm}$

  $AC^2 = BC \cdot HC = 10 \cdot 6,4 = 64 \Rightarrow AC = 8\text{ cm}$

  Áp dụng hệ thức lượng tính đường cao $AH$:

  $AH^2 = HB \cdot HC = 3,6 \cdot 6,4 = 23,04 \Rightarrow AH = 4,8\text{ cm}$

  Vậy $AB = 6\text{ cm}$; $AC = 8\text{ cm}$; $AH = 4,8\text{ cm}$.

• b) (Phần chứng minh hệ thức tích này các em thực hiện hoàn toàn tương tự như hướng dẫn giải ở câu b của Bài tập 1 thông qua đại lượng trung gian $AH^2$).

Bài tập 3

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Từ đỉnh $D$ hạ đường thẳng vuông góc xuống đường chéo $AC$, cắt $AC$ tại điểm $H$. Biết rằng cạnh $AB = \mathbf{13cm}$ và đường cao $DH = \mathbf{5cm}$. Hãy tính độ dài đường chéo $BD$.

Lời giải chi tiết:

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có độ dài cạnh đối bằng nhau: $CD = AB = 13\text{ cm}$. Đồng thời tam giác $ADC$ vuông tại đỉnh $D$.

Xét tam giác vuông $ADC$ vuông tại $D$ có đường cao $DH$ ứng với cạnh huyền $AC$, áp dụng hệ thức lượng ta có biểu thức nghịch đảo:

Ta thực hiện thay các giá trị số đề bài cho vào biểu thức:

Ta nghịch đảo và lấy căn bậc hai để tìm độ dài cạnh $AD$:

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $ADC$, ta tính độ dài đường chéo $AC$:

Theo tính chất của hình chữ nhật, độ dài hai đường chéo luôn luôn bằng nhau ($BD = AC$).

Kết luận: Vậy độ dài đường chéo $BD = \frac{169}{12}\text{ cm}$ (xấp xỉ 14,08cm).

Bài tập 4

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là $AB = \mathbf{3cm}$ và $AC = \mathbf{4cm}$, kẻ đường cao $AH$.

• a) Tính độ dài các đoạn thẳng $BC$ và $AH$.

• b) Tính số đo của góc $B$ và góc $C$ (làm tròn đến phút).

• c) Đường phân giác của góc $A$ cắt cạnh đáy $BC$ tại điểm $E$. Tính độ dài đoạn thẳng $BE$ và $CE$.

Lời giải chi tiết:

• a) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $ABC$ tại $A$:

  $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$$

  Áp dụng hệ thức lượng tính đường cao:

  $AB \cdot AC = BC \cdot AH \Rightarrow AH = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2,4\text{ cm}$

  Vậy $BC = 5\text{ cm}$ và $AH = 2,4\text{ cm}$.

• b) Ta thực hiện tính tỉ số lượng giác của góc $B$:

  $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} = 0,8$

  Sử dụng máy tính bỏ túi bấm shift-sin, ta suy ra số đo góc $B$:

  Góc $B \approx 53^\circ 8'$

  Do góc $B$ và góc $C$ là hai góc phụ nhau trong tam giác vuông nên:

  Góc $C = 90^\circ - \text{Góc } B \approx 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'$

• c) Theo tính chất đường phân giác của một góc trong tam giác, đường phân giác $AE$ chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ thuận với hai cạnh kề:

  $$\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$$

  Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong đại số, ta biến đổi biểu thức:

  $$\frac{BE}{3} = \frac{CE}{4} = \frac{BE + CE}{3 + 4} = \frac{BC}{7} = \frac{5}{7}$$

  Từ dãy tỉ số, ta tính được độ dài từng đoạn thẳng:

  $BE = 3 \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{7}\text{ cm}$

  $CE = 4 \cdot \frac{5}{7} = \frac{20}{7}\text{ cm}$

  Vậy $BE = \frac{15}{7}\text{ cm}$ và $CE = \frac{20}{7}\text{ cm}$.

Bài tập 5

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có độ dài là $\mathbf{6cm}$ và đoạn hình chiếu $HC = \mathbf{8cm}$.

• a) Tính độ dài các đoạn thẳng $HB, BC, AB, AC$.

• b) Kẻ $HD$ vuông góc với cạnh $AC$ tại $D$. Tính độ dài $HD$ và diện tích của tam giác $AHD$.

Lời giải chi tiết:

• a) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $ABC$ có đường cao $AH$:

  $AH^2 = HB \cdot HC \Rightarrow 6^2 = HB \cdot 8 \Rightarrow HB = 4,5\text{ cm}$

  Độ dài cạnh huyền $BC$ là:

  $BC = HB + HC = 4,5 + 8 = 12,5\text{ cm}$

  Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $AHB$ tại $H$:

  $$AB = \sqrt{AH^2 + HB^2} = \sqrt{6^2 + 4,5^2} = \sqrt{56,25} = 7,5\text{ cm}$$

  Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông $AHC$ tại $H$:

  $$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$$

  Vậy $HB = 4,5\text{ cm}; BC = 12,5\text{ cm}; AB = 7,5\text{ cm}; AC = 10\text{ cm}$.

• b) Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HD$ ứng với cạnh huyền $AC$, áp dụng hệ thức lượng ta được:

  $HD = \frac{AH \cdot HC}{AC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8\text{ cm}$

  Áp dụng hệ thức lượng tính hình chiếu $CD$:

  $HC^2 = CD \cdot AC \Rightarrow 8^2 = CD \cdot 10 \Rightarrow CD = 6,4\text{ cm}$

  Độ dài đoạn thẳng $AD$ là:

  $AD = AC - CD = 10 - 6,4 = 3,6\text{ cm}$

  Diện tích của tam giác vuông $AHD$ vuông tại $D$ được tính bằng công thức:

  $$S_{AHD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot HD = \frac{1}{2} \cdot 3,6 \cdot 4,8 = 8,64\text{ cm}^2$$

  Vậy $HD = 4,8\text{ cm}$ và diện tích tam giác $AHD$ bằng 8,64cm².

III. Bài Tập Vận Dụng Học sinh tự giải

Bài 6: Cho ΔABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm

a) Tính BC

b) Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE

c) Từ E kẻ EM và EN vuông góc với AB, AC. Hỏi tứ giác AMEN là hình gì? Tính diện tích AMEN?

Bài 7: Cho ΔABC vuông tại A đường cao AH, BH = 9cm, CH = 25cm. Tính AH, AB?

Bài 8: Cho ΔABC, BC = 15cm; góc B = 34⁰, góc C = 40⁰ ; Kẻ AH ⊥ BC (H∈BC) tính AH?

Bài 9:  Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm

a) Tính BC, góc B, góc C

b) Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD?

Bài 10: Cho ΔABC vuông tại A, góc C = 30⁰, BC = 10cm

a) Tính AB, AC

b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với đường phân giác trong và ngoài của B. Chứng minh: AN//BC, AB//MN

c) chứng minh ΔMAB đồng dạng với ΔABC