Bài 9.10 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.10 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh AB, AC lần lượt là E, F. Chứng minh rằng $\widehat{EIF}+\widehat{BAC}=180^o$

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán chứng minh này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức cơ bản về:

• Tính chất tiếp tuyến của đường tròn: Đường bán kính đi qua tiếp điểm thì vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.

• Tổng các góc trong một tứ giác: Tổng số đo bốn góc của một tứ giác bất kỳ luôn bằng $360^\circ$.

Giải bài 9.10 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa:

ét đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$:

Bước 1: Xác định các góc vuông từ tính chất tiếp điểm

Vì đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với các tiếp điểm trên các cạnh $AB, AC$ lần lượt là $E, F$ nên bán kính $IE$ vuông góc với cạnh $AB$ và bán kính $IF$ vuông góc với cạnh $AC$.

Do đó, ta có:

Bước 2: Sử dụng định lý tổng các góc trong tứ giác

Xét tứ giác $AEIF$, áp dụng định lý tổng các góc trong một tứ giác, ta có:

Bước 3: Thực hiện phép tính chứng minh

Thay số đo các góc vuông đã xác định ở Bước 1 vào biểu thức:

Kết luận: Vậy $\widehat{BAC} + \widehat{EIF} = 180^\circ$ (Điều phải chứng minh).

Tổng kết

• Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

• Tứ giác có hai góc đối diện là góc vuông thì tổng hai góc đối còn lại bằng $180^\circ$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Xác định sai tiếp điểm: Nhiều em nhầm lẫn vị trí của $E$ và $F$, dẫn đến việc xác định các cặp cạnh vuông góc không chính xác. Hãy nhớ $E$ nằm trên $AB$ và $F$ nằm trên $AC$.

• Nhầm lẫn giữa đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp: Cần lưu ý đây là đường tròn nội tiếp (nằm bên trong tam giác), do đó các cạnh tam giác đóng vai trò là tiếp tuyến của đường tròn.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài tập trắc nghiệm liên quan đến tứ giác tạo bởi hai tiếp tuyến cắt nhau và tâm đường tròn, các em chỉ cần nhớ: Góc tạo bởi hai bán kính và góc tạo bởi hai tiếp tuyến luôn bù nhau ($180^\circ$).

Ví dụ: Nếu đề bài cho góc $A = 60^\circ$, các em có thể tính ngay được góc $\widehat{EIF} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ mà không cần trình bày dài dòng.