Bài 6.7 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 6.7 Toán 9 KNTT:

Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol y = ax² như Hình 6.8. Biết chiều rộng của chân cổng là AB = 6 m và chiều cao của cổng là OI = 4,5 m.

a) Tìm hệ số a dựa vào các dữ kiện trên. Từ đó, tính độ dài đoạn HK biết H cách điểm chính giữa cổng I là 2 m.

b) Để vận chuyển hàng qua cổng, người ta dự định sử dụng một xe tải có chiều rộng 2 m, chiều cao 3 m. Hỏi xe tải này có thể đi qua được cổng vòm đó hay không?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ tại đỉnh cổng, trục $Oy$ đi qua $I$. Chiều rộng $AB = 6$ m nên $OA = OB = 3$ m. Chiều cao $OI = 4,5$ m.

• Giả sử $Oy$ hướng lên (như lời giải mẫu ngầm định): Đỉnh $O(0; 0)$. Chân cổng $B$ có tọa độ $(3; -4,5)$.

• Câu a): Thay $B(3; -4,5)$ vào $y = ax^2$ để tìm $a$.

• Câu b): Đặt xe tải vào vị trí trung tâm (đối xứng qua $Oy$). Chiều cao xe là $3$m. Tính chiều rộng tối đa của cổng tại chiều cao $3$m (tức là $y = -3$).

Lời giải chi tiết bài 6.7:

a) ⦁ Parabol y = ax² đi qua hai điểm B(3; –4,5) nên ta có:

–4,5 = a . 3², hay 9a = –4,5. Suy ra a = -1/2

Khi đó, ta có hàm số 

⦁ Vì H cách điểm chính giữa cổng I là 2 m nên IH = 2 (m). Do đó tọa độ của điểm H là H(2; –4,5).

Vì IH = 2 nên ta cũng có hoành độ của điểm K là 2.

Thay x = 2 vào hàm số  ta được: 

Vì vậy, tọa độ của điểm K là K(2; –2).

Do đó, HK = |y_H| – |y_K| = |–4,5| – |–2| = 2,5 (m).

Vậy độ dài đoạn HK là 2,5 m.

b) Giả sử hình ảnh xe tải đi qua cổng có hình chữ nhật MNPQ có NP = 3 m và PQ = 2 m (hình vẽ).

Xe tải có chiều cao NP = 3 m thì khi đó nó cách đỉnh vòm (gốc tọa độ O) một khoảng là 4,5 – 3 = 1,5 (m).

Khi y = –1,5, thay vào hàm số  ta được:

hay x² = 3. Suy ra 

Khoảng cách giữa 2 điểm M’, N’ trên parabol lúc này là  > 2(m) = PQ.

Vậy xe tải có chiều rộng 2 m, chiều cao 3 m có thể đi qua được cổng vòm này.