Bài 9.26 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.26 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Phân tích nhanh

Để tính cạnh của tam giác đều khi biết bán kính đường tròn ngoại tiếp, chúng ta cần vận dụng các tính chất đặc biệt sau:

• Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm của tam giác.

• Khoảng cách từ tâm đến đỉnh ($OA, OB, OC$) chính là bán kính $R = 2$ cm.

• Sử dụng tỉ lệ của trọng tâm để tìm chiều cao của tam giác, sau đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm cạnh.

Giải bài 9.26 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

Vì tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $2$ cm nên ta có:

Bước 1: Tính chiều cao của tam giác đều

Vì $\Delta ABC$ đều nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp cũng chính là trọng tâm của tam giác. Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Khi đó, $AH$ đóng vai trò là đường cao, đường trung trực và cũng là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Theo tính chất trọng tâm, ta có:

Bước 2: Tính độ dài cạnh của tam giác

Vì $\Delta ABC$ đều nên các góc trong tam giác đều bằng $60^\circ$, do đó $\widehat{ABC} = 60^\circ$.

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có:

Vì $AH$ là đường trung tuyến nên $H$ là trung điểm của $BC$. Độ dài cạnh $BC$ là:

Kết luận: Vậy độ dài các cạnh của tam giác đều $ABC$ bằng $2\sqrt{3}$ cm.

Tổng kết

• Trong tam giác đều, bán kính ngoại tiếp $R = \frac{2}{3}h$ (với $h$ là chiều cao).

• Chiều cao tam giác đều cạnh $a$ là $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn tỉ lệ trọng tâm: Nhiều bạn nhớ nhầm thành $AH = \frac{2}{3}AO$ thay vì $AO = \frac{2}{3}AH$. Hãy nhớ đoạn từ đỉnh đến tâm luôn dài hơn đoạn từ tâm đến cạnh.

• Tính sai giá trị lượng giác: Cần nhớ chính xác $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ để không bị sai số ở bước cuối cùng.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, các em có thể sử dụng công thức liên hệ trực tiếp giữa cạnh $a$ và bán kính ngoại tiếp $R$ của tam giác đều:

$a = R\sqrt{3}$

Áp dụng vào bài: $a = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm. Chỉ mất vài giây để tìm ra đáp án chính xác!