Bài 6.26 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 6.26 Toán 9 KNTT:

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax² + bx + c = a(x – x­₁)(x – x₂).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18;

b) 3x² + 5x – 2.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Chứng minh công thức phân tích

Ta sử dụng Định lý Viète: Nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ và $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. Ta biến đổi vế phải của công thức phân tích để đưa về vế trái.

2. Áp dụng

Để phân tích đa thức $P(x) = ax^2 + bx + c$ thành nhân tử, ta giải phương trình $P(x) = 0$ để tìm nghiệm $x_1, x_2$. Sau đó, áp dụng công thức đã chứng minh: $P(x) = a(x – x_1)(x – x_2)$.

Lời giải chi tiết bài 6.26:

⦁ Phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

 và  

Suy ra b = –a(x₁ + x₂) và c = ax₁x₂.

Do đó:

ax² + bx + c = ax² – a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂

= ax² – ax₁x – ax₂x + ax₁x₂

= ax(x – x₁) – ax₂(x – x₁)

= a(x – x₁)(x – x₂).

Vậy nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử là: ax² + bx + c = a(x – x­₁)(x – x₂).

⦁ Áp dụng: Phân tích các đa thức thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18.

Phương trình x² + 11x + 18 = 0 có ∆ = 11² – 4.1.18 = 49 > 0 và

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

 và 

Vậy đa thức x² + 11x + 18 phân tích được thành nhân tử như sau:

x² + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9).

b) 3x² + 5x – 2.

Phương trình 3x² + 5x – 2 = 0 có ∆ = 5² – 4.3.(–2) = 49 > 0 và 

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

và

Vậy đa thức 3x² + 5x – 2 phân tích được thành nhân tử như sau: