Bài 9.33 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.33 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định được bán kính của hai loại đường tròn:

• Đường tròn ngoại tiếp ($R$): Có tâm là giao điểm hai đường chéo hình vuông, bán kính bằng nửa đường chéo ($R = \frac{AC}{2}$).

• Đường tròn nội tiếp ($r$): Có tâm là giao điểm hai đường chéo hình vuông, bán kính bằng nửa cạnh hình vuông ($r = \frac{AB}{2}$).

Giải bài 9.33 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

a) Đối với đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$

Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Tâm $O$ của đường tròn là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ (do $ABCD$ là hình vuông), áp dụng định lý Pythagore ta có:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

• Chu vi đường tròn ngoại tiếp: $C_R = 2\pi R = 2\pi \cdot 2\sqrt{2} = 4\pi\sqrt{2} \text{ (cm)} \text{}$

• Diện tích đường tròn ngoại tiếp: $S_R = \pi R^2 = \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 = 8\pi \text{ (cm}^2\text{)} \text{}$

b) Đối với đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$

Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp. Đường tròn này tiếp xúc với 4 cạnh của hình vuông tại các trung điểm $M, N, P, Q$.

Bán kính đường tròn nội tiếp bằng khoảng cách từ tâm $O$ đến các cạnh, tức là bằng nửa độ dài cạnh hình vuông:

• Chu vi đường tròn nội tiếp: $C_r = 2\pi r = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \text{ (cm)} \text{}$

• Diện tích đường tròn nội tiếp: $S_r = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ (cm}^2\text{)} \text{}$

Tổng kết

• Trong hình vuông cạnh $a$:

  • Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

  • Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = \frac{a}{2}$.

• Mối liên hệ: $R = r\sqrt{2}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn công thức bán kính: Học sinh thường nhầm giữa $R$ và $r$. Hãy nhớ $R$ nối đến đỉnh (dài hơn), $r$ nối đến cạnh (ngắn hơn).

• Quên bình phương khi tính diện tích: Khi tính $R^2 = (2\sqrt{2})^2$, cần chú ý bình phương cả số 2 và căn 2 để được kết quả là $4 \times 2 = 8$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, nếu biết diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông là $S$, thì diện tích đường tròn ngoại tiếp sẽ luôn gấp đôi:

$S_{\text{ngoại tiếp}} = 2 \cdot S_{\text{nội tiếp}}$

Áp dụng: $S_r = 4\pi \Rightarrow S_R = 2 \cdot 4\pi = 8\pi$. Rất nhanh chóng và chính xác!