Bài 9.13 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.13 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng $\widehat{BOC}=120^o$ và $\widehat{OCA}=20^o$ Tính số đo các góc của tam giác ABC. 

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức trọng tâm sau:

• Tính chất bán kính: Trong một đường tròn, tất cả các bán kính đều bằng nhau ($OA = OB = OC$), tạo ra các tam giác cân.

• Mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm: Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

• Tổng các góc trong một tam giác: Tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng $180^\circ$.

Giải bài 9.13 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa:

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC.

Bước 1: Tính góc ở tâm $\widehat{AOC}$

Xét $\Delta OAC$ có $OA = OC$ nên $\Delta OAC$ cân tại $O$. Suy ra $\widehat{OAC} = \widehat{OCA} = 20^\circ$.

Trong $\Delta OAC$, ta có:

Bước 2: Tính các góc nội tiếp của tam giác $ABC$

Xét đường tròn $(O)$, ta áp dụng tính chất góc nội tiếp:

• Tính góc B: $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $AC$. Do đó:

  $$\widehat{ABC} = \frac{1}{2}\widehat{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$$

• Tính góc A: $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $BC$. Do đó:

  $$\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$$

Bước 3: Tính góc còn lại của tam giác

Xét $\Delta ABC$, ta có:

Kết luận: Vậy các góc của tam giác $ABC$ là $\widehat{BAC} = 60^\circ$; $\widehat{ABC} = 70^\circ$; $\widehat{ACB} = 50^\circ$.

Tổng kết

• Xác định các tam giác cân dựa trên bán kính đường tròn.

• Chuyển đổi từ góc ở tâm sang góc nội tiếp tương ứng.

• Sử dụng tổng các góc trong tam giác để tìm số đo góc cuối cùng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên tính chất tam giác cân: Nhiều em không nhận ra $OA = OC$ dẫn đến việc không tính được góc ở tâm $\widehat{AOC}$.

• Nhầm lẫn các cung bị chắn: Khi tính góc nội tiếp, cần xác định chính xác cung mà góc đó đang "nhìn" để đối chiếu đúng với góc ở tâm tương ứng.

Mẹo giải nhanh

Nếu đề bài cho số đo góc tại một đỉnh của tam giác cân tạo bởi tâm đường tròn (như $\widehat{OCA}$), bạn có thể tính ngay góc nội tiếp chắn cung đó bằng cách lấy $90^\circ$ trừ đi góc đó nếu là tam giác nhọn. Tuy nhiên, cách an toàn nhất vẫn là tính góc ở tâm rồi chia đôi để tránh nhầm lẫn.