Bài 9.43 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.43 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Phép quay thuận chiều 45° tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D’ (H.9.61). Hãy vẽ tứ giác A’B’C’D’.

b) Phép quay trong câu a biến các điểm A’, B’, C’, D’ thành những điểm nào?

Phân tích bài toán

• Định nghĩa phép quay: Phép quay thuận chiều $45^\circ$ tâm $O$ biến điểm $M$ thành $M'$ nếu $OM = OM'$ và góc quay $\widehat{MOM'} = 45^\circ$ theo chiều kim đồng hồ.

• Tính chất hình vuông: Trong hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường chéo vuông góc với nhau tại $O$, chia đường tròn thành 4 cung bằng nhau, mỗi cung tương ứng với góc ở tâm $90^\circ$.

• Mối liên hệ góc: Vì góc quay là $45^\circ$ (bằng một nửa $90^\circ$), điểm mới sẽ nằm chính giữa cung tròn nối hai đỉnh liên tiếp của hình vuông ban đầu.

Giải bài 9.43 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Vẽ tứ giác $A'B'C'D'$

Để vẽ tứ giác $A'B'C'D'$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định điểm $A'$: Lấy điểm $A'$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho tia $OA$ quay thuận chiều kim đồng hồ một góc $\widehat{AOA'} = 45^\circ$. Do mỗi ô lưới trên hình tương ứng với một đơn vị đo, ta có thể dùng thước đo góc để xác định chính xác vị trí này.

2. Xác định $B', C', D'$: Thực hiện tương tự cho các điểm còn lại. Tia $OB$ quay thuận chiều $45^\circ$ thành $OB'$, $OC \to OC'$, $OD \to OD'$.

3. Hoàn thiện: Nối $A'$ với $B'$, $B'$ với $C'$, $C'$ với $D'$ và $D'$ với $A'$. Ta được tứ giác $A'B'C'D'$ là một hình vuông mới lệch so với hình vuông cũ một góc $45^\circ$.

b) Xác định điểm biến thành sau phép quay tiếp theo

Bây giờ, ta xét phép quay thuận chiều $45^\circ$ tâm $O$ tác động lên các điểm $A', B', C', D'$:

• Điểm $A'$: Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat{AOD} = 90^\circ$. Ta có $\widehat{AOD} = \widehat{AOA'} + \widehat{A'OD}$.

  Thay số: $90^\circ = 45^\circ + \widehat{A'OD} \Rightarrow \widehat{A'OD} = 45^\circ$.

  Vì tia $OA'$ quay thuận chiều $45^\circ$ sẽ trùng với tia $OD$, nên phép quay này biến điểm $A'$ thành điểm $D$.

• Điểm $B'$: Tương tự, vì $\widehat{BOA} = 90^\circ$ và $\widehat{BOB'} = 45^\circ$ nên $\widehat{B'OA} = 45^\circ$. Phép quay thuận chiều $45^\circ$ biến $B'$ thành $A$.

• Điểm $C'$: Phép quay thuận chiều $45^\circ$ biến $C'$ thành $B$.

• Điểm $D'$: Phép quay thuận chiều $45^\circ$ biến $D'$ thành $C$.

Kết luận: Phép quay thuận chiều $45^\circ$ tâm $O$ biến các điểm $A', B', C', D'$ lần lượt thành các điểm $D, A, B, C$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Phép quay bảo toàn khoảng cách từ tâm đến các đỉnh.

• Nếu góc quay bằng nửa góc ở tâm giữa hai đỉnh liên tiếp của đa giác đều, thì đỉnh mới sẽ là trung điểm của cung tròn nối hai đỉnh đó.

• Thực hiện hai lần phép quay góc $\alpha$ tương đương với một phép quay góc $2\alpha$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sai chiều quay: Nhầm lẫn giữa "thuận chiều" (kim đồng hồ) và "ngược chiều". Hãy luôn nhớ: Thuận chiều là đi xuống/sang phải từ đỉnh cao nhất.

• Xác định sai góc: Không tận dụng tính chất vuông góc của đường chéo hình vuông ($90^\circ$) để tính toán nhanh góc $45^\circ$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán phép quay trên đường tròn nội tiếp hình vuông:

Góc $45^\circ$ luôn biến "đỉnh" thành "trung điểm cung" và biến "trung điểm cung" thành "đỉnh kế tiếp" (theo chiều quay).

Nhìn vào hình, ta thấy $A'$ nằm giữa $A$ và $D$. Quay tiếp $45^\circ$ nữa thì chắc chắn $A'$ phải rơi vào $D$. Tư duy này giúp các em làm bài trắc nghiệm cực nhanh mà không cần vẽ hình cầu kỳ!