Bài 9.9 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.9 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$

Phân tích nhanh

Để chứng minh hai góc $\widehat{BAH}$ và $\widehat{OAC}$ bằng nhau, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bắc cầu thông qua số đo của góc ở tâm và tính chất của tam giác vuông:

• Sử dụng tính chất tam giác cân tại tâm đường tròn ngoại tiếp để biểu diễn $\widehat{OAC}$.

• Sử dụng tính chất trực tâm để xác định đường cao và biểu diễn $\widehat{BAH}$ qua góc nhọn của tam giác vuông.

• Kết nối hai góc này thông qua mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $AC$.

Giải bài 9.9 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa:

Xét đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$:

Bước 1: Biểu diễn góc $\widehat{OAC}$ trong tam giác cân

Ta có $OA = OC$ (cùng bằng bán kính đường tròn $(O)$) nên $\Delta OAC$ cân tại $O$.

Suy ra $\widehat{OAC} = \widehat{OCA}$ (tính chất tam giác cân).

Xét $\Delta OAC$, ta có:

Bước 2: Biểu diễn góc $\widehat{BAH}$ qua tam giác vuông

Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Vì $H$ là trực tâm nên $AK \perp BC$, hay $AK$ là đường cao của tam giác $ABC$.

Xét $\Delta ABK$ vuông tại $K$ có:

Bước 3: Thiết lập mối quan hệ giữa các góc

Mặt khác, xét đường tròn $(O)$ có $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $AC$.

Theo tính chất góc nội tiếp, ta có:

Từ (2) và (3) suy ra:

Bước 4: Kết luận

Từ (1) và (4), ta có:

(Điều phải chứng minh).

Tổng kết

• Trong một đường tròn, góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.

• Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng $90^\circ$.

• Tam giác tạo bởi tâm đường tròn ngoại tiếp và hai đỉnh của tam giác luôn là tam giác cân.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không nhận ra tam giác cân: Nhiều bạn quên mất $OA = OC = R$ nên không thể biểu diễn được góc $\widehat{OAC}$.

• Nhầm lẫn các cung bị chắn: Cần xác định đúng $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AOC}$ cùng chắn cung $AC$ để áp dụng định lý chính xác.

Mẹo giải nhanh

Đây là một bổ đề quan trọng về đường đối trung. Để nhớ nhanh kết quả này, các em có thể nhớ câu thần chú: "Đường cao và bán kính từ một đỉnh tạo với hai cạnh bên những góc bằng nhau". Kết quả này thường xuyên xuất hiện trong các bài toán chứng minh hình học lớp 9 nâng cao.