Bài 9.12 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.12 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Người ta muốn làm một khung gỗ hình tam giác đều để đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính 30 cm (H.9.23). Hỏi độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng bao nhiêu?

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán thực tế này, chúng ta cần chuyển đổi về bài toán hình học phẳng:

• Khung gỗ là một tam giác đều.

• Chiếc đồng hồ đặt "vừa khít" bên trong nghĩa là đường tròn khung viền của đồng hồ nội tiếp tam giác đều đó.

• Dữ kiện đề bài cho đường kính đồng hồ là $30$ cm, từ đó ta tính được bán kính đường tròn nội tiếp ($r$).

• Áp dụng công thức liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp và cạnh của tam giác đều để tìm kết quả.

Giải bài 9.12 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi độ dài các cạnh phía bên trong của khung gỗ là $a$ (cm) ($a > 0$).

Bước 1: Tính bán kính chiếc đồng hồ

Bán kính của chiếc đồng hồ hình tròn là:

Bước 2: Thiết lập mối liên hệ hình học

Vì khung gỗ hình tam giác đều đặt vừa khít chiếc đồng hồ nên đường tròn khung viền của đồng hồ nội tiếp tam giác đều.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ được tính theo công thức:

Bước 3: Tính độ dài cạnh $a$

Thay giá trị $r = 15$ cm vào công thức trên, ta có:

Kết luận: Vậy độ dài cạnh phía bên trong của khung gỗ là $30\sqrt{3}$ cm.

Tổng kết

• Đường tròn nội tiếp tam giác đều tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

• Mối liên hệ giữa bán kính nội tiếp $r$ và cạnh $a$: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa đường kính và bán kính: Nhiều bạn sử dụng trực tiếp con số $30$ làm bán kính dẫn đến kết quả sai lệch gấp đôi.

• Sử dụng nhầm công thức bán kính ngoại tiếp: Tránh nhầm lẫn công thức đường tròn nội tiếp ($r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$) với đường tròn ngoại tiếp ($R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$).

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán thực tế về tam giác đều bao quanh một vật hình tròn (vừa khít):

Cạnh tam giác = Bán kính vật tròn $\times 2\sqrt{3}$

hoặc: Cạnh tam giác = Đường kính vật tròn $\times \sqrt{3}$

Áp dụng vào bài: $a = 30 \times \sqrt{3} = 30\sqrt{3}$ cm. Chỉ với một phép tính nhân đơn giản, các em đã có ngay đáp án cho bài toán này!