Bài 9.42 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.42 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm. Tính chu vi và diện tích của một hình lục giác đều đã cho.

Phân tích bài toán

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tìm bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp thông qua cạnh của hình vuông.

• Bước 2: Sử dụng bán kính $R$ để xác định cạnh của hình lục giác đều (trong lục giác đều, cạnh bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp).

• Bước 3: Tính chu vi và diện tích lục giác đều dựa trên độ dài cạnh vừa tìm được.

Giải bài 9.42 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Giả sử ABCDEG là hình lục giác đều và MNPQ là hình vuông cùng nội tiếp đường tròn (O; R). Do đó OA = OB = OC = OD = OE = OM = ON = OP = OQ = R.

a) Tìm bán kính $R$ của đường tròn

Hình vuông $MNPQ$ có cạnh bằng $3$ cm nội tiếp đường tròn $(O)$, do đó tâm $O$ là giao điểm của hai đường chéo $MP$ và $NQ$.

Xét tam giác $OMN$ vuông tại $O$ (do hai đường chéo hình vuông vuông góc với nhau), áp dụng định lý Pythagore ta có:

Vì $OM = ON = R$ và $MN = 3$ cm nên:

b) Tính chu vi hình lục giác đều $ABCDEG$

Lục giác đều $ABCDEG$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ được cấu tạo từ 6 tam giác đều bằng nhau (như $\Delta OAB, \Delta OBC, \dots$) có cạnh bằng bán kính $R$.

Do đó, độ dài cạnh của lục giác đều là:

Chu vi của hình lục giác đều là:

c) Tính diện tích hình lục giác đều $ABCDEG$

Diện tích lục giác đều bằng 6 lần diện tích tam giác đều $OAB$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, khi đó $OH$ là đường cao của tam giác đều $OAB$.

Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$, ta có:

Diện tích tam giác $OAB$ là:

Diện tích hình lục giác đều là:

Kết luận:

• Chu vi lục giác đều: $9\sqrt{2}$ cm.

• Diện tích lục giác đều: $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ cm².

Tổng kết kiến thức

• Hình vuông cạnh $a$: Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

• Lục giác đều cạnh $a$: Nội tiếp đường tròn bán kính $R = a$.

• Diện tích lục giác đều cạnh $a$: $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn mối quan hệ giữa cạnh và bán kính: Học sinh thường quên rằng cạnh lục giác đều đúng bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp, dẫn đến việc đi tìm công thức phức tạp không cần thiết.

• Sai sót khi tính toán căn thức: Việc trục căn thức ở mẫu hoặc nhân các căn thức (như $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}$) cần được thực hiện cẩn thận để tránh mất điểm.

Mẹo giải nhanh

Nếu bạn nhớ công thức diện tích lục giác đều theo bán kính $R$: $S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

Thay trực tiếp $R^2 = 4,5$ vào: $S = \frac{3 \cdot 4,5 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{13,5\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$.

Cách này giúp rút ngắn thời gian làm bài đáng kể!