Bài 9.35 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.35 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.59.

a) Hãy tìm một phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C.

b) Phép quay trên sẽ biến các điểm B, C, D, E lần lượt thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên ngũ giác đều ABCDE không?

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định góc ở tâm của ngũ giác đều:

• Góc ở tâm cơ bản: Một ngũ giác đều chia đường tròn thành 5 cung bằng nhau, mỗi cung có số đo là $360^\circ / 5 = 72^\circ$.

• Phép quay biến $A$ thành $C$: Trong phép quay thuận chiều (cùng chiều kim đồng hồ), từ $A$ đến $C$ ta phải đi qua các đỉnh $E, D$ rồi mới đến $C$. Ta sẽ tính tổng các góc ở tâm tương ứng với quãng đường này.

Giải bài 9.35 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tìm phép quay thuận chiều tâm $O$ biến $A$ thành $C$

Ta có hình minh họa phân tích các góc ở tâm:

Vì ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $OA = OB = OC = OD = OE = R$.

Vì $ABCDE$ là ngũ giác đều nên các cạnh bằng nhau: $AB = BC = CD = DE = EA$.

Xét các tam giác $\Delta OAB, \Delta OBC, \Delta OCD, \Delta ODE, \Delta OEA$, theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c), ta có:

Suy ra các góc ở tâm tương ứng bằng nhau:

Mà tổng 5 góc này xung quanh tâm $O$ là $360^\circ$, nên số đo mỗi góc là:

Để biến điểm $A$ thành điểm $C$ theo chiều thuận (cùng chiều kim đồng hồ), điểm $A$ phải di chuyển qua các vị trí $E$ và $D$. Góc quay tương ứng là:

Kết luận: Phép quay thuận chiều $216^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $C$.

b) Tác động của phép quay lên các điểm còn lại

Phép quay thuận chiều $216^\circ$ tâm $O$ tương ứng với việc dịch chuyển mỗi đỉnh đi 3 bước theo chiều kim đồng hồ. Cụ thể:

• Biến điểm $B$ thành điểm $D$ (qua $A, E \to D$).

• Biến điểm $C$ thành điểm $E$ (qua $B, A \to E$).

• Biến điểm $D$ thành điểm $A$ (qua $C, B \to A$).

• Biến điểm $E$ thành điểm $B$ (qua $D, C \to B$).

Vì phép quay này biến tập hợp các đỉnh $\{A, B, C, D, E\}$ thành chính nó $\{C, D, E, A, B\}$, nên phép quay này giữ nguyên ngũ giác đều $ABCDE$.

Tổng kết

• Góc quay cơ sở của đa giác đều $n$ cạnh là $360^\circ / n$.

• Phép quay giữ nguyên đa giác đều khi góc quay là bội của góc quay cơ sở.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn chiều quay: Đề bài yêu cầu "thuận chiều" (chiều kim đồng hồ). Nếu quay ngược chiều từ $A$ sang $C$, góc quay chỉ là $72^\circ \times 2 = 144^\circ$. Hãy đọc kỹ yêu cầu về hướng quay.

• Tính sai số bước: Từ $A$ đến $C$ theo chiều thuận là 3 cung ($AE, ED, DC$), không phải 2 cung.

Mẹo giải nhanh

Để tìm nhanh góc quay thuận chiều biến đỉnh thứ $1$ thành đỉnh thứ $m$ trong đa giác $n$ cạnh:

Góc quay = (Khoảng cách giữa các đỉnh theo chiều quay) $\times$ ($360^\circ / n$)

Trong bài này, từ $A$ đi thuận chiều đến $C$ là 3 khoảng ($A \to E \to D \to C$).

Góc quay $= 3 \times 72^\circ = 216^\circ$.