Bài 9.44 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.44 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bạn Lan muốn cắt hình ngôi sao có dạng như Hình 9.62 (trong đó ABCDE là một ngũ giác đều). Lan gấp đôi tờ giấy, vẽ một nửa ngôi sao và cắt theo nét vẽ. Hỏi góc tạo bởi lưỡi kéo và nếp gấp lúc đầu bằng bao nhiêu độ?

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán thực tế thú vị này, chúng ta cần thực hiện các bước suy luận sau:

• Bước 1: Tính số đo các góc của ngũ giác đều $ABCDE$.

• Bước 2: Xác định số đo các góc của tam giác cân tại mỗi cánh sao (ví dụ tam giác $FAB$ với $F$ là đỉnh cánh sao).

• Bước 3: Hiểu rằng khi gấp đôi tờ giấy và cắt, nếp gấp chính là đường phân giác của góc tại đỉnh cánh sao ($F$). Do đó, góc tạo bởi lưỡi kéo và nếp gấp chính là một nửa góc ở đỉnh cánh sao.

Giải bài 9.44 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Giai đoạn 1: Tính góc của ngũ giác đều

Một ngũ giác đều $ABCDE$ có thể chia thành 3 tam giác (ví dụ: $\Delta ABC, \Delta ACD, \Delta ADE$).

Tổng số đo 5 góc của ngũ giác đều là:

Vì $ABCDE$ là ngũ giác đều nên 5 góc ở đỉnh bằng nhau. Số đo mỗi góc là:

Giai đoạn 2: Tính góc ở đỉnh của cánh sao

Gọi $F$ là đỉnh của một cánh sao có cạnh đáy là $AB$. Khi đó $\Delta FAB$ là tam giác cân tại $F$.

• Ta có góc $\widehat{FAB}$ và góc $\widehat{BAE}$ (góc của ngũ giác) là hai góc kề bù.

• Suy ra: $\widehat{FAB} = 180^\circ - \widehat{BAE} = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

• Vì $\Delta FAB$ cân tại $F$ nên $\widehat{FBA} = \widehat{FAB} = 72^\circ$.

Xét $\Delta FAB$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

Giai đoạn 3: Tính góc cắt của kéo

Khi gấp đôi tờ giấy theo nếp gấp đi qua đỉnh $F$, nếp gấp này sẽ chia đôi góc $\widehat{AFB}$.

Góc tạo bởi lưỡi kéo và nếp gấp lúc đầu là:

Kết luận: Góc tạo bởi lưỡi kéo và nếp gấp lúc đầu bằng $18^\circ$.

Tổng kết kiến thức

• Tổng các góc trong đa giác $n$ cạnh: $(n - 2) \times 180^\circ$.

• Góc của đa giác đều: $\frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$.

• Tính chất gấp giấy: Nếp gấp đóng vai trò là trục đối xứng (đường phân giác của góc tại đỉnh).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai góc ngũ giác: Nhiều bạn nhầm lẫn góc ngũ giác đều là $72^\circ$ (đó là góc ở tâm). Hãy nhớ góc trong là $108^\circ$.

• Quên chia đôi góc ở đỉnh: Học sinh thường tính ra $36^\circ$ và kết luận luôn. Cần đọc kỹ đề bài là Lan gấp đôi tờ giấy, nên góc cắt chỉ là một nửa.

Mẹo giải nhanh cho các loại sao khác

Nếu đề bài yêu cầu tính góc cắt cho một ngôi sao $n$ cánh đều ($n$ là số cánh), các em có thể dùng công thức nhanh:

Góc cắt $= 90^\circ - \frac{180^\circ}{n}$

Áp dụng với sao 5 cánh: $90^\circ - 180^\circ / 5 = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$ (Đây là góc $\widehat{FAB}$).

Góc ở đỉnh $\widehat{AFB} = 180^\circ - 2 \times 54^\circ = 72^\circ$.

Lưu ý: Công thức này tùy thuộc vào hình dạng cánh sao "gầy" hay "mập". Với hình dạng chuẩn như bài 9.44, hãy luôn bám sát các bước tính góc kề bù.