Bài 9.27 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.27 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình thoi ABCD có   Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Giải bài 9.27 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

⦁ Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên MA = MB = AB/2; NB = NC = BC/2; PC = PD = CD/2; QD = QA = DA/2.

Do đó AM = MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = AB/2. (1)

Xét ∆ABD có AB = AD nên ∆ABD cân tại A, lại có  nên ∆ABD là tam giác đều. Do đó AB = BD (2) 

và 

Lại có M, Q là lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác.

Do đó MQ // BD và MQ = BD/2. (3)

Chứng minh tương tự, ta cũng có NP = BD/2. (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra MB = BN = NP = PD = DQ = QM.

⦁ Vì MQ // BD nên  (so le trong).

Mà  (hai góc kề bù)

Suy ra

Tương tự, ta có 

Tam giác BCD có BC = CD và  (tính chất hình thoi) nên ∆BCD là tam giác đều.

Do đó:

Ta có

Khi đó,

Như vậy MBNPDQ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Vậy MBNPDQ là lục giác đều.