Bài 9.27 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.27 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình thoi ABCD có $\widehat{A}=60^o$  Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Phân tích nhanh

Để chứng minh $MBNPDQ$ là một lục giác đều, chúng ta cần chỉ ra hai điều kiện:

• Tất cả các cạnh bằng nhau: $MB = BN = NP = PD = DQ = QM$.

• Tất cả các góc bằng nhau: $\widehat{BMQ} = \widehat{MBN} = \widehat{BNP} = \widehat{NPD} = \widehat{PDQ} = \widehat{DQM} = 120^\circ$.

  Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và đường trung bình trong tam giác để giải quyết bài toán này.

Giải bài 9.27 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

Bước 1: Chứng minh các cạnh của lục giác bằng nhau

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC = CD = DA$.

Do $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh nên:

Suy ra: $MB = BN = PD = DQ = \frac{AB}{2}$ (1)

Xét $\Delta ABD$ có $AB = AD$ và $\widehat{A} = 60^\circ$ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều. Do đó $BD = AB$.

Vì $M, Q$ là trung điểm của $AB, AD$ nên $MQ$ là đường trung bình của $\Delta ABD$.

Tương tự, xét $\Delta BCD$ đều, ta có $NP$ là đường trung bình nên:

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $MB = BN = NP = PD = DQ = QM$.

Bước 2: Chứng minh các góc của lục giác bằng nhau

Vì $MQ \parallel BD$ nên $\widehat{AMQ} = \widehat{ABD} = 60^\circ$ (góc đồng vị).

Mà $\widehat{AMQ} + \widehat{BMQ} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên:

Tương tự, ta có: $\widehat{BNP} = 120^\circ, \widehat{NPD} = 120^\circ, \widehat{DQM} = 120^\circ$.

Xét các góc tại đỉnh $B$ và $D$:

Vì $\Delta ABD$ và $\Delta BCD$ là các tam giác đều nên:

Kết luận: Lục giác $MBNPDQ$ có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc đều bằng $120^\circ$. Vậy $MBNPDQ$ là lục giác đều.

Tổng kết

• Sử dụng tính chất tam giác đều (cân có một góc $60^\circ$).

• Vận dụng tính chất đường trung bình: song song và bằng nửa cạnh đáy.

• Lục giác đều có các góc bằng $120^\circ$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Thiếu bước chứng minh tam giác đều: Nhiều bạn thừa nhận ngay $BD = AB$ mà không giải thích dựa trên góc $60^\circ$.

• Nhầm lẫn các cặp góc: Cần xác định đúng vị trí các góc đồng vị và kề bù để tính toán số đo $120^\circ$ chính xác.

Mẹo giải nhanh

Trong hình thoi có góc $60^\circ$, đường chéo ngắn chia hình thoi thành 2 tam giác đều. Bất cứ khi nào bạn thấy trung điểm của các cạnh hình thoi này, hãy nghĩ ngay đến các đoạn thẳng có độ dài bằng nửa cạnh hình thoi. Đó chính là chìa khóa để chứng minh các cạnh bằng nhau cực nhanh!