Bài 9.22 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.22 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,5 cm.

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, chúng ta cần xâu chuỗi các dữ kiện hình học sau:

• Tính chất hình chữ nhật nội tiếp: Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo. Đường chéo của hình chữ nhật chính là đường kính của đường tròn đó.

• Mối liên hệ giữa các cạnh: Chiều dài bằng 2 lần chiều rộng ($AB = 2BC$).

• Định lý Pythagore: Sử dụng trong tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo để tìm độ dài cụ thể của từng cạnh.

Giải bài 9.22 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Giả sử ABCD là hình chữ nhật có AB = 2BC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2,5 cm (hình vẽ).

Bước 1: Tính độ dài đường chéo $AC$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn $(O)$ nên đường chéo $AC$ đi qua tâm $O$ và đóng vai trò là đường kính của đường tròn.

Độ dài đường chéo $AC$ là:

Bước 2: Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC} = 90^\circ$. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, áp dụng định lý Pythagore ta có:

Thay $AB = 2BC$ và $AC = 5$ vào biểu thức:

Suy ra chiều rộng: $BC = \sqrt{5}$ (cm).

Suy ra chiều dài: $AB = 2BC = 2\sqrt{5}$ (cm).

Bước 3: Tính diện tích hình chữ nhật $ABCD$

Diện tích của hình chữ nhật là tích của chiều dài và chiều rộng:

Kết luận: Vậy diện tích hình chữ nhật là 10 cm².

Tổng kết

• Đường chéo hình chữ nhật nội tiếp $= 2 \times$ bán kính ngoại tiếp.

• Áp dụng Pythagore để liên kết tỉ lệ các cạnh với đường chéo.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa bán kính và đường kính: Nhiều bạn sử dụng trực tiếp con số $2,5$ cm cho cạnh huyền trong định lý Pythagore thay vì phải dùng đường kính $5$ cm.

• Sai sót khi bình phương tỉ số: Khi bình phương chiều dài $2BC$, học sinh thường quên bình phương hệ số $2$, dẫn đến viết $(2BC)^2 = 2BC^2$ (sai) thay vì $4BC^2$ (đúng).

Mẹo giải nhanh

Nếu hình chữ nhật có tỉ lệ chiều dài : chiều rộng là $k : 1$ và bán kính ngoại tiếp là $R$, diện tích $S$ có thể tính nhanh bằng công thức:

$$S = \frac{4k \cdot R^2}{k^2 + 1}$$

Áp dụng vào bài ($k = 2, R = 2,5$): $S = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2,5^2}{2^2 + 1} = \frac{8 \cdot 6,25}{5} = \frac{50}{5} = 10$ cm². Công thức này cực kỳ hữu ích cho các bài thi trắc nghiệm!