Bài 9.34 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.34 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Biết rằng bốn đỉnh A, B, C, D của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn (O) theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều 45° biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm E, F, G, H.

a) Vẽ đa giác EAFBGCHD.

b) Đa giác EAFBGCHD có phải là một bát giác đều hay không? Vì sao?

Phân tích nhanh

Để chứng minh $EAFBGCHD$ là một bát giác đều, chúng ta cần chỉ ra:

• Tất cả các cạnh bằng nhau: $EA = AF = FB = BG = GC = CH = HD = DE$.

• Tất cả các góc bằng nhau: $\widehat{EAF} = \widehat{AFB} = \widehat{FBG} = ... = \widehat{DEA}$.

  Chìa khóa nằm ở việc chia nhỏ góc ở tâm $360^\circ$ của đường tròn thành 8 góc bằng nhau, mỗi góc $45^\circ$.

Giải bài 9.34 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

a) Cách vẽ đa giác $EAFBGCHD$

• Vẽ đường tròn $(O)$. Trên đường tròn, xác định 4 đỉnh $A, B, C, D$ của hình vuông theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.

• Thực hiện phép quay thuận chiều $45^\circ$ tâm $O$:

  • Biến $A \to E$ sao cho $OA = OE$ và $\widehat{AOE} = 45^\circ$.

  • Tương tự biến $B \to F$, $C \to G$, $D \to H$.

• Nối các điểm theo thứ tự: $E$ với $A$, $A$ với $F$, $F$ with $B$, $B$ với $G$, $G$ với $C$, $C$ với $H$, $H$ với $D$ và $D$ với $E$. Ta được đa giác $EAFBGCHD$.

b) Chứng minh $EAFBGCHD$ là bát giác đều

Bước 1: Chứng minh các cạnh bằng nhau

Vì $ABCD$ là hình vuông nội tiếp $(O)$ nên $AC \perp BD$ tại $O$, suy ra $\widehat{AOD} = 90^\circ$.

Theo cách dựng, phép quay biến $D$ thành $H$ góc $45^\circ$ (thuận chiều), nhưng điểm $E$ nằm giữa cung $AD$ do $\widehat{AOE} = 45^\circ$.

Ta có: $\widehat{EOD} = \widehat{AOD} - \widehat{AOE} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Xét $\Delta OAE$ và $\Delta OED$ có:

• $OA = OE = OD$ (bán kính).

• $\widehat{AOE} = \widehat{EOD} = 45^\circ$.

  Do đó $\Delta OAE = \Delta OED$ (c.g.c) $\Rightarrow AE = ED$.

Chứng minh tương tự cho các cặp tam giác còn lại, ta có:

Suy ra: $EA = AF = FB = BG = GC = CH = HD = DE$ (1).

Bước 2: Chứng minh các góc bằng nhau

Các tam giác trên đều là tam giác cân tại $O$ (do có hai cạnh là bán kính) và bằng nhau.

Gọi góc ở đáy của mỗi tam giác cân này là $\alpha$. Ta có:

Xét các góc của đa giác:

Tương tự cho các góc còn lại, ta có:

$\widehat{EAF} = \widehat{AFB} = \widehat{FBG} = \widehat{BGC}$ $ = \widehat{GCH} = \widehat{CHD} = \widehat{HDE} = \widehat{DEA}$ (2).

Kết luận: Từ (1) và (2), đa giác $EAFBGCHD$ có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau nên nó là một bát giác đều.

Tổng kết

• Phép quay giữ nguyên khoảng cách từ tâm đến các đỉnh.

• Hình vuông chia đường tròn thành 4 cung $90^\circ$. Phép quay $45^\circ$ chia đôi các cung này, tạo thành 8 cung bằng nhau $45^\circ$.

• Đa giác có 8 cạnh bằng nhau và nội tiếp đường tròn với các cung bằng nhau là bát giác đều.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn chiều quay: Đề bài yêu cầu quay "thuận chiều" (cùng chiều kim đồng hồ), nếu vẽ ngược lại sẽ làm sai lệch vị trí các điểm $E, F, G, H$.

• Thiếu lập luận tam giác cân: Khi chứng minh các góc bằng nhau, cần chỉ rõ tính chất tam giác cân tại tâm $O$ để suy ra các góc ở đáy bằng nhau.

Mẹo giải nhanh

Hãy nhớ rằng bát giác đều được tạo thành từ 8 tam giác cân bằng nhau có góc ở đỉnh là $45^\circ$ ($360^\circ / 8 = 45^\circ$). Khi bạn thấy sự xuất hiện của góc $45^\circ$ liên tiếp quanh tâm của một đường tròn nội tiếp hình vuông, chắc chắn một bát giác đều đang hình thành!