Bài 9.19 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.19 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng $\widehat{IBD}=\widehat{ICA},\:\widehat{IAC}=\widehat{IDB}$ và IA . IB = IC . ID.

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức về:

• Tứ giác nội tiếp: Tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$.

• Góc kề bù: Tổng số đo hai góc kề bù bằng $180^\circ$.

• Tam giác đồng dạng: Sử dụng trường hợp đồng dạng góc-góc (g.g) để thiết lập tỉ số độ dài đoạn thẳng.

Giải bài 9.19 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

Bước 1: Chứng minh các cặp góc bằng nhau

Xét tứ giác $ABDC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ta có:

• Tổng các góc đối diện bằng $180^\circ$, suy ra: $\widehat{DCA} + \widehat{ABD} = 180^\circ$.

• Mà $\widehat{DCA} + \widehat{ICA} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

• Từ hai điều trên, ta có: $\widehat{ABD} = \widehat{ICA}$ hay $\widehat{IBD} = \widehat{ICA}$.

Tương tự:

• Ta có: $\widehat{BAC} + \widehat{BDC} = 180^\circ$ (hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

• Mà $\widehat{BAC} + \widehat{IAC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

• Do đó: $\widehat{BDC} = \widehat{IAC}$ hay $\widehat{BDI} = \widehat{IAC}$.

Bước 2: Chứng minh hệ thức $IA \cdot IB = IC \cdot ID$

Xét $\Delta IAC$ và $\Delta IDB$, ta có:

• $\widehat{IAC} = \widehat{IDB}$ (chứng minh trên).

• $\widehat{BID}$ là góc chung.

Suy ra: $\Delta IAC \sim \Delta IDB$ (trường hợp góc - góc).

Từ tính chất của hai tam giác đồng dạng, ta lập được tỉ số đồng dạng:

Nhân chéo tỉ số trên, ta được hệ thức: $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

Kết luận: Điều phải chứng minh.

Tổng kết

• Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

• Hệ thức $IA \cdot IB = IC \cdot ID$ là một tính chất quan trọng về phương tích của một điểm nằm ngoài đường tròn.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Xác định sai cặp tam giác đồng dạng: Học sinh thường nhầm lẫn giữa $\Delta IAC$ và $\Delta ICB$ hoặc viết sai thứ tự các đỉnh tương ứng, dẫn đến tỉ số đồng dạng bị sai.

• Nhầm lẫn thứ tự điểm: Hãy chú ý giả thiết $A$ nằm giữa $I$ và $B$ để vẽ hình và ký hiệu góc chính xác.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán có hai cát tuyến xuất phát từ một điểm $I$ bên ngoài đường tròn, các em hãy nhớ câu thần chú: "Tích khoảng cách từ điểm đó đến hai giao điểm trên mỗi cát tuyến luôn bằng nhau".

Công thức: $I(\text{điểm gần}) \cdot I(\text{điểm xa}) = \text{const}$.

Áp dụng: $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.