Bài 9.21 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.21 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Phân tích nhanh

Để chứng minh một hình thang là hình thang cân, chúng ta có thể chỉ ra hai góc kề một đáy của nó bằng nhau. Bài toán này kết hợp hai kiến thức quan trọng:

• Tính chất tứ giác nội tiếp: Tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$.

• Tính chất hình thang (hai đường thẳng song song): Hai góc trong cùng phía bù nhau ($180^\circ$).

Giải bài 9.21 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

Bước 1: Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp

Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nên tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$.

Ta có:

Bước 2: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song

Vì $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$) nên hai góc trong cùng phía $\widehat{ABC}$ và $\widehat{BCD}$ bù nhau.

Ta có:

Bước 3: Suy luận so sánh góc

Từ (1) và (2), ta có cùng tổng bằng $180^\circ$, suy ra:

Triệt tiêu $\widehat{ABC}$ ở cả hai vế, ta được:

Bước 4: Kết luận

Hình thang $ABCD$ có hai góc kề đáy $CD$ bằng nhau ($\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$) nên theo dấu hiệu nhận biết, $ABCD$ là hình thang cân.

(Điều phải chứng minh).

Tổng kết

• Một tứ giác vừa là hình thang vừa nội tiếp đường tròn thì chắc chắn là hình thang cân.

• Phương pháp chứng minh: Sử dụng tính chất bắc cầu qua tổng $180^\circ$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn cặp góc đối: Hãy chú ý xác định đúng cặp góc đối trong tứ giác nội tiếp (ví dụ $B$ đối $D$) và cặp góc trong cùng phía của hình thang (ví dụ $B$ kề $C$).

• Quên giả thiết song song: Nếu không có $AB \parallel CD$, chúng ta không thể khẳng định tổng các góc kề một cạnh bên bằng $180^\circ$.

Mẹo giải nhanh

Trong các đề thi trắc nghiệm, các em hãy ghi nhớ định lý quan trọng này:

"Mọi hình thang nội tiếp đường tròn đều là hình thang cân."

Tương tự, các em cũng nên nhớ thêm: "Mọi hình thang cân đều nội tiếp được đường tròn." Đây là hai mệnh đề đảo ngược giúp giải quyết nhanh các bài toán chọn khẳng định đúng/sai.