Bài 9.28 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.28 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều 60° tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.

Phân tích nhanh

Để chứng minh $ADBECF$ là một lục giác đều, chúng ta cần chỉ ra:

• Tất cả các cạnh bằng nhau: $AD = DB = BE = EC = CF = FA$.

• Tất cả các góc bằng nhau: Đều bằng $120^\circ$.

  Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của phép quay, mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm, cùng với tính chất của tam giác đều để giải quyết bài toán.

Giải bài 9.28 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

Bước 1: Tính số đo các góc ở tâm

Vì $\Delta ABC$ là tam giác đều nên $\widehat{BAC} = \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 60^\circ$.

Xét đường tròn $(O)$, $\widehat{ACB}$ và $\widehat{AOB}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $AB$. Do đó:

Tương tự, ta có $\widehat{BOC} = \widehat{COA} = 120^\circ$.

Bước 2: Sử dụng tính chất phép quay

Phép quay ngược chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $D$ nên:

• $OA = OD$ và $\widehat{AOD} = 60^\circ$.

• Suy ra $\Delta OAD$ là tam giác đều $\Rightarrow AD = OA = OD$ và $\widehat{ODA} = 60^\circ$ (1).

Mặt khác, ta có $\widehat{AOB} = \widehat{AOD} + \widehat{BOD}$ (hai góc kề nhau):

Xét $\Delta OBD$ có $OB = OD$ (cùng bằng $OA$) và $\widehat{BOD} = 60^\circ$ nên $\Delta OBD$ là tam giác đều.

$$\Rightarrow BD = OB = OD$ và $\widehat{ODB} = 60^\circ$ (2).

Bước 3: Chứng minh các cạnh và góc bằng nhau

Từ (1) và (2), ta có $AD = DB$ (cùng bằng bán kính $R$) và:

Chứng minh tương tự cho các đỉnh còn lại, ta sẽ được:

• $AD = DB = BE = EC = CF = FA$ (tất cả đều bằng bán kính $R$).

• $\widehat{ADB} = \widehat{DBE} = \widehat{BEC} = \widehat{ECF} = \widehat{CFA} = \widehat{FAD} = 120^\circ$.

Kết luận: Lục giác $ADBECF$ có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau nên là một lục giác đều.

Tổng kết

• Phép quay bảo toàn khoảng cách từ tâm đến điểm.

• Góc ở tâm chắn cung của tam giác đều nội tiếp là $120^\circ$.

• Lục giác đều có cấu tạo từ 6 tam giác đều ghép lại tại tâm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn chiều quay: Đề bài yêu cầu quay "ngược chiều" (ngược kim đồng hồ), nếu quay nhầm chiều thuận sẽ dẫn đến hình vẽ sai lệch.

• Thiếu bước trung gian: Nhiều bạn bỏ qua bước tính góc ở tâm $\widehat{AOB} = 120^\circ$, đây là cơ sở quan trọng để chia nhỏ góc thành các phần $60^\circ$.

Mẹo giải nhanh

Hãy nhớ rằng một lục giác đều thực chất là 6 tam giác đều chụm đỉnh lại với nhau. Khi phép quay tạo ra những góc $60^\circ$ và các cạnh bằng bán kính $R$, bạn đang tạo ra những "mảnh ghép" tam giác đều đó. Tổng hai góc $60^\circ$ của hai tam giác đều kề nhau luôn tạo ra góc $120^\circ$ của lục giác đều!