Bài 9.40 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.40 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Phân tích bài toán

• Câu a: Sử dụng tính chất tam giác vuông có đường tròn ngoại tiếp nhận cạnh huyền làm đường kính.

• Câu b: Để chứng minh $ME, MF$ là tiếp tuyến, ta cần chứng minh chúng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm (tức là $MF \perp IF$ và $ME \perp IE$). Chúng ta sẽ sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và cộng góc để chứng minh góc $90^\circ$.

Giải bài 9.40 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn tâm $I$

Vì $BE, CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ nên $BE \perp AC$ và $CF \perp AB$.

• Xét tam giác $AEH$ vuông tại $E$ ($BE \perp AC$): Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $I$ của cạnh huyền $AH$. Suy ra ba điểm $A, E, H$ thuộc đường tròn $(I; IA)$.

• Xét tam giác $AFH$ vuông tại $F$ ($CF \perp AB$): Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm $I$ của cạnh huyền $AH$. Suy ra ba điểm $A, F, H$ thuộc đường tròn $(I; IA)$.

Từ đó, cả bốn điểm $A, E, H, F$ cùng nằm trên đường tròn tâm $I$, đường kính $AH$.

Kết luận: Tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm $I$.

b) Chứng minh $ME, MF$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$

Ta sẽ chứng minh cho trường hợp $MF$, trường hợp $ME$ tương tự.

Bước 1: Xét các tam giác cân

• Trong đường tròn $(I)$, vì $IA = IF$ (bán kính) nên $\Delta IAF$ cân tại $I$. Suy ra: $\widehat{IAF} = \widehat{IFA}$ (1).

• Xét $\Delta BCF$ vuông tại $F$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền: $MF = MB = MC = \frac{BC}{2}$.

• Vì $MF = MB$ nên $\Delta BMF$ cân tại $M$. Suy ra: $\widehat{MFB} = \widehat{MBF}$ (2).

Bước 2: Sử dụng tổng góc trong tam giác vuông

Kéo dài $AH$ cắt $BC$ tại $D$. Vì $H$ là trực tâm (giao của hai đường cao $BE, CF$) nên $AD \perp BC$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$, ta có:

Hay chính là: $\widehat{IAF} + \widehat{MBF} = 90^\circ \text{ (3)}$

Bước 3: Chứng minh vuông góc

Từ (1), (2) và (3) ta có:

Mặt khác, ba điểm $A, F, B$ thẳng hàng nên:

Suy ra $MF \perp IF$. Vì $IF$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$ nên $MF$ là tiếp tuyến của đường tròn này.

Chứng minh tương tự, ta cũng có $ME \perp IE$, suy ra $ME$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$.

(Điều phải chứng minh).

Tổng kết kiến thức

• Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông: Tâm là trung điểm cạnh huyền.

• Tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

• Tính chất trực tâm: Ba đường cao đồng quy tại một điểm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên tính chất trung tuyến tam giác vuông: Đây là chìa khóa để chứng minh $MF = MB$, nếu không nhớ tính chất này các em sẽ không thể giải được câu b.

• Nhầm lẫn các góc: Khi cộng góc, cần chú ý các cặp góc bằng nhau dựa trên tính chất tam giác cân để thay thế chính xác vào biểu thức $90^\circ$.

Mẹo giải nhanh

Đây là một cấu trúc hình học cực kỳ kinh điển trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Ghi nhớ mô hình này sẽ giúp các em nhận ra hướng giải ngay lập tức khi gặp các bài toán tương tự!