Bài 9.40 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.40 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Giải bài 9.40 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

a) Vì tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên HE ⊥ AE và HF ⊥ AF.

Vì ∆AEH vuông tại E nên đường tròn ngoại tiếp của tam giác có tâm I, đường kính AH. Do đó ba điểm A, E, H cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AH.

Vì ∆AFH vuông tại F nên đường tròn ngoại tiếp của tam giác có tâm I, đường kính AH. Do đó ba điểm A, F, H cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AH.

Suy ra bốn điểm A, E, H, F cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AH.

Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AH.

b) Xét ∆IAF có IA = IF (do A, F thuộc đường tròn tâm I đường kính AH) nên ∆IAF cân tại I,

Suy ra  (1)

Xét ∆BCF vuông tại F có FM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên FM = MB = MC = BC/2.

Xét ∆BMF có MB = MF nên ∆BMF cân tại M,

Suy ra  (2)

Kéo dài AH cắt BC tại D, khi đó AD là đường cao của tam giác ABC.

Xét ∆ABD vuông tại D, ta có:

 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Do đó 

Lại có 

Suy ra

Hay MF ⊥ IF, mà IF là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Do đó MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Tương tự, ta cũng chứng minh được ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Vậy ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.