Bài 9.31 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.31 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD, ABDE là những tứ giác nội tiếp.

Phân tích nhanh

Để chứng minh một tứ giác nội tiếp trong bài toán này, phương pháp hiệu quả nhất là sử dụng dấu hiệu: "Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới một góc bằng nhau".

• Trong tam giác có các đường cao, các góc vuông tại chân đường cao sẽ giúp ta xác định các cung tròn có đường kính là cạnh của tam giác.

Giải bài 9.31 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

Bước 1: Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp

• Vì $BE \perp AC$ (giả thiết $BE$ là đường cao) nên $\Delta BEC$ vuông tại $E$. Theo tính chất tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp $\Delta BEC$ có đường kính là cạnh huyền $BC$. Suy ra ba điểm $B, E, C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$.

• Vì $CF \perp AB$ (giả thiết $CF$ là đường cao) nên $\Delta BFC$ vuông tại $F$. Tương tự, đường tròn ngoại tiếp $\Delta BFC$ có đường kính là $BC$. Suy ra ba điểm $B, F, C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$.

• Từ đó, cả bốn điểm $B, C, E, F$ đều thuộc đường tròn đường kính $BC$.

  Kết luận: Tứ giác $BCEF$ là tứ giác nội tiếp.

Bước 2: Chứng minh các tứ giác còn lại

Chứng minh tương tự đối với các cặp đường cao khác:

• Tứ giác $CAFD$: Có $\widehat{ADC} = \widehat{AFC} = 90^\circ$. Hai đỉnh $D, F$ kề nhau cùng nhìn cạnh $AC$ dưới một góc vuông. Vậy $CAFD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$.

• Tứ giác $ABDE$: Có $\widehat{ADB} = \widehat{AEB} = 90^\circ$. Hai đỉnh $D, E$ kề nhau cùng nhìn cạnh $AB$ dưới một góc vuông. Vậy $ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$.

Kết luận chung: $BCEF, CAFD, ABDE$ là những tứ giác nội tiếp.

Tổng kết

• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

• Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau (thường là góc vuông).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Thiếu lập luận về cạnh huyền: Nhiều bạn chỉ nói góc bằng $90^\circ$ mà không chỉ rõ chúng cùng nhìn cạnh nào, dẫn đến việc xác định sai đường kính của đường tròn ngoại tiếp.

• Nhầm lẫn các đỉnh: Hãy chú ý tên tứ giác (ví dụ $BCEF$) để xác định đúng cặp góc vuông tương ứng ($E$ và $F$).

Mẹo giải nhanh

Trong bất kỳ bài toán nào có tam giác và 3 đường cao, bạn hãy nhớ ngay đến 6 tứ giác nội tiếp luôn xuất hiện:

1. 3 tứ giác tạo bởi các đỉnh của tam giác (như bài 9.31 này): $BCEF, CAFD, ABDE$.

2. 3 tứ giác tạo bởi trực tâm và các đỉnh: $AFHE, BDHF, CEHD$ (với $H$ là trực tâm).

   Nắm vững bộ 6 này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học tổng hợp cực nhanh!