Bài 9.23 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.23 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.

Phân tích nhanh

Để tính chiều dài đoạn thép (nửa chu vi đường tròn), chúng ta cần tìm được bán kính $R$ của nửa đường tròn đó.

• Mô hình hóa: Giả sử khung cổng là hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $AB = 3$ m và chiều rộng $BC = 4$ m.

• Tâm đường tròn: Do tính đối xứng, tâm $O$ của nửa đường tròn sẽ nằm trên cạnh đáy của cổng và là trung điểm của đoạn thẳng nối chân cổng.

• Sử dụng Pythagore: Thiết lập tam giác vuông kết nối tâm $O$, một đỉnh của hình chữ nhật và các khoảng cách đã biết để tìm bán kính $OB$.

Giải bài 9.23 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Giả sử ABCD là khung cổng hình chữ nhật (AB = CD = 3 m và AD = BC = 4 m) nội tiếp nửa đường tròn (O) (hình vẽ).

Bước 1: Xác định các khoảng cách hình học

Gọi $H$ là trung điểm của cạnh trên $BC$.

Vì $BC = 4$ m nên ta có:

Do tính chất đối xứng của nửa đường tròn, đường trung trực của dây cung $BC$ sẽ đi qua tâm $O$. Suy ra $OH \perp BC$.

Bước 2: Xác định độ dài đoạn $OH$

Xét tứ giác $ABHO$, ta có:

• $\widehat{OAB} = 90^\circ$ (góc của hình chữ nhật).

• $\widehat{ABH} = 90^\circ$ (góc của hình chữ nhật).

• $\widehat{BHO} = 90^\circ$ (do $OH$ là trung trực của $BC$).

  Do đó, $ABHO$ là hình chữ nhật. Suy ra $OH = AB = 3$ m.

Bước 3: Tính bán kính $R$ của nửa đường tròn

Xét tam giác $OBH$ vuông tại $H$, áp dụng định lý Pythagore ta có:

Vậy bán kính của nửa đường tròn là $R = \sqrt{13}$ m.

Bước 4: Tính chiều dài đoạn thép

Chiều dài đoạn thép làm khung nửa đường tròn chính là nửa chu vi đường tròn bán kính $R$:

Kết luận: Vậy chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó là $\pi\sqrt{13}$ m.

Tổng kết

• Bán kính đường tròn được tìm qua tam giác vuông tạo bởi nửa chiều rộng và chiều cao khung cổng.

• Công thức nửa chu vi đường tròn: $C_{1/2} = \pi R$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn công thức chu vi: Nhiều em tính cả chu vi ($2\pi R$) hoặc quên không chia đôi khi dùng công thức $C = \pi d$. Hãy nhớ đây là khung nửa đường tròn.

• Xác định sai bán kính: Một số bạn lầm tưởng bán kính chính là chiều cao $3$ m hoặc nửa chiều rộng $2$ m. Thực tế, bán kính là đoạn nối từ tâm đến đỉnh cổng.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán khung cổng tương tự, bán kính $R$ luôn tuân theo công thức:

$$R = \sqrt{\text{Chiều cao}^2 + (\text{Chiều rộng} / 2)^2}$$

Sau khi có $R$, chỉ cần nhân với $\pi$ (xấp xỉ $3,14$) là ra ngay chiều dài khung thép. Cách này rất hữu dụng khi làm các bài tập trắc nghiệm thực tế!