Bài 9.29 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.29 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.

Phân tích nhanh

Để một phép quay tâm $O$ giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp, phép quay đó phải biến các đỉnh của ngũ giác thành các đỉnh khác (hoặc chính nó) của cùng ngũ giác đó.

• Nguyên lý: Trong một đa giác đều $n$ cạnh, góc ở tâm tạo bởi hai đỉnh liên tiếp là $\frac{360^\circ}{n}$.

• Áp dụng: Với ngũ giác đều ($n=5$), góc quay cơ bản là $72^\circ$. Các phép quay với góc quay là bội của $72^\circ$ sẽ giữ nguyên hình dáng của ngũ giác.

Giải bài 9.29 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Giả sử ABCDE là ngũ giác đều nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).

Bước 1: Tính góc ở tâm của ngũ giác đều

Vì $ABCDE$ là ngũ giác đều nội tiếp đường tròn $(O)$ nên ta có:

• $OA = OB = OC = OD = OE$ (bán kính).

• $AB = BC = CD = DE = EA$ (cạnh của ngũ giác đều).

Xét các tam giác $\Delta OAB, \Delta OBC, \Delta OCD, \Delta ODE, \Delta OEA$. Theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c), ta có:

Suy ra các góc ở tâm bằng nhau:

Mà tổng các góc này xung quanh tâm $O$ bằng $360^\circ$. Vậy:

Bước 2: Xác định các phép quay

Phép quay tâm $O$ góc $72^\circ$ (thuận chiều hoặc ngược chiều) sẽ biến đỉnh này thành đỉnh kế tiếp, do đó giữ nguyên ngũ giác đều.

Năm phép quay ngược chiều tâm $O$ giữ nguyên ngũ giác đều $ABCDE$ là:

1. Phép quay ngược chiều $72^\circ$ tâm $O$: Biến $A \to B, B \to C, C \to D, D \to E, E \to A$.

2. Phép quay ngược chiều $144^\circ$ ($72^\circ \times 2$) tâm $O$: Biến $A \to C, B \to D, C \to E, D \to A, E \to B$.

3. Phép quay ngược chiều $216^\circ$ ($72^\circ \times 3$) tâm $O$: Biến $A \to D, B \to E, C \to A, D \to B, E \to C$.

4. Phép quay ngược chiều $288^\circ$ ($72^\circ \times 4$) tâm $O$: Biến $A \to E, B \to A, C \to B, D \to C, E \to D$.

5. Phép quay ngược chiều $360^\circ$ ($72^\circ \times 5$) tâm $O$: Biến mỗi đỉnh thành chính nó (phép đồng nhất).

Kết luận: Năm phép quay ngược chiều tâm $O$ với các góc quay lần lượt là $72^\circ, 144^\circ, 216^\circ, 288^\circ$ và $360^\circ$ sẽ giữ nguyên ngũ giác đều nội tiếp đường tròn $(O)$.

Tổng kết

• Đa giác đều $n$ cạnh giữ nguyên qua phép quay tâm $O$ với các góc quay $\alpha = k \cdot \frac{360^\circ}{n}$ (với $k$ là số nguyên).

• Với ngũ giác đều, góc quay là bội của $72^\circ$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính sai góc ở tâm: Nhiều bạn lấy $360^\circ$ chia cho số đường chéo hoặc nhầm sang góc của tam giác đều ($60^\circ$). Hãy nhớ: Lấy $360^\circ$ chia cho số cạnh.

• Quên phép quay $360^\circ$: Đây cũng là một phép quay hợp lệ giữ nguyên hình vẽ (biến hình thành chính nó).

Mẹo giải nhanh

Để liệt kê nhanh các phép quay của đa giác đều $n$ cạnh:

1. Tính $\alpha = 360^\circ / n$.

2. Lấy $\alpha$ nhân lần lượt với $1, 2, 3, \dots, n$.

   Kết quả nhận được chính là danh sách các góc quay cần tìm.