Bài 9.41 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.41 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng các tứ giác ANOP, BPOM, CMON là các tứ giác nội tiếp.

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức trọng tâm sau:

• Tính chất đường trung trực: Trong một đường tròn, đường thẳng đi qua tâm và trung điểm của một dây cung thì vuông góc với dây cung đó.

• Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° hoặc có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau (thường là góc vuông) thì nội tiếp được đường tròn.

Giải bài 9.41 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình sau:

Vì tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $AB, BC, CA$ là các dây cung của đường tròn này.

Theo giả thiết $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$. Theo tính chất đường kính và dây cung, ta có:

• $OM \perp BC$ tại $M \Rightarrow \widehat{OMC} = \widehat{OMB} = 90^\circ$

• $ON \perp CA$ tại $N \Rightarrow \widehat{ONA} = \widehat{ONC} = 90^\circ$

• $OP \perp AB$ tại $P \Rightarrow \widehat{OPA} = \widehat{OPB} = 90^\circ$

Bước 1: Chứng minh tứ giác $ANOP$ nội tiếp

Xét tứ giác $ANOP$, ta có:

• $\widehat{ONA} = 90^\circ$ (do $ON \perp AC$)

• $\widehat{OPA} = 90^\circ$ (do $OP \perp AB$)

  Hai đỉnh $N$ và $P$ kề nhau cùng nhìn cạnh $OA$ dưới một góc vuông.

  $\Rightarrow$ Bốn điểm $A, N, O, P$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $OA$.

  Kết luận: Tứ giác $ANOP$ nội tiếp đường tròn đường kính $OA$.

Bước 2: Chứng minh các tứ giác còn lại

Chứng minh tương tự, ta có:

• Tứ giác $BPOM$: Có $\widehat{OPB} = 90^\circ$ và $\widehat{OMB} = 90^\circ$. Hai đỉnh $P$ và $M$ cùng nhìn cạnh $OB$ dưới một góc vuông. Vậy $BPOM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OB$.

• Tứ giác $CMON$: Có $\widehat{OMC} = 90^\circ$ và $\widehat{ONC} = 90^\circ$. Hai đỉnh $M$ và $N$ cùng nhìn cạnh $OC$ dưới một góc vuông. Vậy $CMON$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$.

Kết luận chung: $ANOP, BPOM, CMON$ là các tứ giác nội tiếp.

Tổng kết kiến thức

• Định lý quan trọng: Trong tam giác nội tiếp, các đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp đến trung điểm các cạnh luôn vuông góc với các cạnh đó.

• Ứng dụng: Các chân đường vuông góc này kết hợp với đỉnh tam giác tạo ra các tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nối tâm đến đỉnh tương ứng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Thiếu lập luận vuông góc: Nhiều bạn thừa nhận $OM \perp BC$ mà không giải thích vì $M$ là trung điểm dây cung. Đây là bước quan trọng để bài làm đủ ý.

• Nhầm lẫn tâm đường tròn: Chú ý $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, nhưng tứ giác $ANOP$ lại nội tiếp một đường tròn khác có đường kính $OA$.

Mẹo giải nhanh

Trong hình học, khi gặp mô hình "Tâm đường tròn ngoại tiếp + Trung điểm cạnh", các em hãy nghĩ ngay đến Góc Vuông. Từ góc vuông, các hệ thức về tam giác vuông và tứ giác nội tiếp sẽ hiện ra rất rõ ràng.