Bài 9.6 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.6 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trên sân bóng, khi quả bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng 36° và quả bóng cách mỗi cọc gôn 11,6 m (H.9.11). Hỏi khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đến 11,6 m thì góc sút bằng bao nhiêu?

Phân tích nhanh

Để giải bài toán thực tế này, chúng ta cần "hình học hóa" các vị trí trên sân bóng:

• Gọi $A, B$ là vị trí hai cọc gôn.

• Gọi $O$ là điểm phạt đền. Theo đề bài: $OA = OB = 11,6$ m và góc sút tại đây là $\widehat{AOB} = 36^\circ$.

• Gọi $C$ là vị trí mới của quả bóng. Theo đề bài, $C$ cách điểm phạt đền $O$ một khoảng $OC = 11,6$ m.

• Nhận thấy $OA = OB = OC = 11,6$ m, điều này gợi ý về một đường tròn tâm $O$.

Giải bài 9.6 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Hình vẽ dưới đây minh họa cho bài toán trên với A, B lần lượt là các cọc gôn, C là vị trí đặt bóng và O là vị trí điểm phạt đền.

Bước 1: Xác định đường tròn đi qua các điểm

Vì quả bóng ở điểm phạt đền $O$ cách đều hai cọc gôn $A$ và $B$ một khoảng $11,6$ m ($OA = OB = 11,6$ m).

Đồng thời, vị trí đặt bóng mới $C$ cũng cách điểm phạt đền $O$ một khoảng $11,6$ m ($OC = 11,6$ m).

Do đó: $OA = OB = OC = 11,6$ m.

Suy ra ba điểm $A, B, C$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 11,6$ m.

Bước 2: Tính góc sút tại vị trí C

Xét đường tròn $(O; 11,6 \text{ m})$, ta có:

• $\widehat{AOB} = 36^\circ$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $AB$.

• $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $AB$.

Theo tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung, ta có:

Thay số vào ta được:

Kết luận: Vậy khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền $11,6$ m thì góc sút bằng 18°.

Tổng kết

• Ba điểm cách đều một điểm cho trước sẽ nằm trên một đường tròn.

• Góc nội tiếp luôn bằng nửa số đo góc ở tâm khi cùng chắn một cung.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không nhận ra tính chất đường tròn: Nhiều bạn cố gắng dùng lượng giác (Sin, Cos) để tính cạnh $AB$ rồi mới tính góc $C$, cách này rất dài dòng và dễ sai số.

• Nhầm lẫn vị trí: Đọc đề không kỹ dẫn đến nhầm lẫn khoảng cách $11,6$ m là khoảng cách giữa hai cọc gôn. Hãy nhớ $11,6$ m ở đây là bán kính đường tròn.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán thực tế về góc sút, nếu vị trí mới ($C$) cách điểm sút cũ ($O$) một khoảng đúng bằng khoảng cách từ điểm cũ đến hai cọc gôn, thì góc sút mới luôn luôn bằng một nửa góc sút cũ.

Công thức bỏ túi: Góc mới = Góc cũ / 2. (Chỉ áp dụng khi có tính chất cách đều).