Bài 9.11 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.11 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết rằng bán kính của (I) bằng 1 cm.

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, các em cần nắm vững mối quan hệ giữa cạnh của tam giác đều và bán kính đường tròn nội tiếp:

• Trong tam giác đều, tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm của tam giác.

• Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ bằng $\frac{1}{3}$ độ dài đường cao của tam giác đều.

• Công thức liên hệ giữa cạnh $a$ và bán kính nội tiếp $r$ trong tam giác đều là $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Giải bài 9.11 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa:

Gọi độ dài các cạnh của tam giác đều $ABC$ là $a$ (cm).

Bước 1: Áp dụng công thức liên hệ

Vì tam giác $ABC$ đều ngoại tiếp đường tròn $(I; r)$ nên bán kính đường tròn nội tiếp được tính theo công thức:

Bước 2: Thay số và tính độ dài cạnh $a$

Theo đề bài, ta có bán kính $r = 1$ cm. Thay vào công thức trên, ta được:

Kết luận: Vậy độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ là $2\sqrt{3}$ cm.

Tổng kết

• Trong tam giác đều cạnh $a$, đường cao $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

• Bán kính đường tròn nội tiếp $r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa bán kính nội tiếp và ngoại tiếp: Nhiều em nhầm công thức $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ (nội tiếp) với $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ (ngoại tiếp), dẫn đến kết quả sai lệch gấp đôi.

• Sai sót khi trục căn thức ở mẫu: Khi tính $a = \frac{6}{\sqrt{3}}$, hãy nhớ nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$ để có kết quả rút gọn đẹp nhất là $2\sqrt{3}$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán trắc nghiệm về tam giác đều:

Cạnh tam giác = Bán kính nội tiếp $\times$ $2\sqrt{3}$

Áp dụng vào bài: $a = 1 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm. Chỉ mất 3 giây là các em đã có ngay đáp án chính xác!