Bài 9.36 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.36 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10 cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, chúng ta cần:

• Mô hình hóa: Gọi $x$ là cạnh của lục giác đều nhỏ. Lục giác đều lớn có cạnh là $10$ cm.

• Tính toán diện tích: Biểu diễn diện tích lục giác đều nhỏ và diện tích một hình thang cân theo $x$.

• Lập phương trình: Dựa vào giả thiết "Diện tích lục giác nhỏ = 2 lần diện tích mỗi hình thang" để tìm $x$.

• Mối liên hệ: Trong lục giác đều, khoảng cách từ tâm đến cạnh (đường cao tam giác đều nhỏ) tỉ lệ thuận với cạnh của nó.

Giải bài 9.36 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Giả sử ABCDEG là khay bánh kẹo hình lục giác đều cạnh 10 cm, được chia thành 7 ngăn gồm một lúc giác đều nhỏ MNPQUT cạnh $x$ cm ($0 < x < 10$). và 6 hình thang cân MNBA, NPCB, PQDC, QUED, UTGE, TMAG.

Bước 1: Tính diện tích lục giác đều nhỏ

Lục giác đều $MNPQUT$ tâm $O$ có thể chia thành 6 tam giác đều bằng nhau (như $\Delta OMN$).

Gọi $OH$ là đường cao của tam giác đều $OMN$, ta có:

Diện tích 1 tam giác đều nhỏ là:

Diện tích lục giác đều nhỏ là: $S_{\text{lục giác nhỏ}} = 6S_1$.

Bước 2: Tính diện tích hình thang cân

Xét hình thang cân $ABNM$ có đáy lớn $AB = 10$ cm, đáy nhỏ $MN = x$ cm.

Chiều cao của hình thang cân này chính là đoạn $HK$. Gọi $OK$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến cạnh $AB$:

Chiều cao hình thang $ABNM$ là:

Diện tích hình thang cân $ABNM$ là:

Bước 3: Lập phương trình và tìm $x$

Theo đề bài: $S_{\text{lục giác nhỏ}} = 2 \cdot S_2$

Thay công thức vào:

Kết luận: Vậy cạnh của lục giác đều nhỏ phải bằng 5 cm.

Tổng kết

• Trong lục giác đều cạnh $a$, diện tích $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

• Đường cao của tam giác đều tạo bởi tâm và cạnh là $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sai công thức diện tích: Nhiều bạn nhầm lẫn công thức diện tích lục giác đều. Hãy nhớ nó là tổng của 6 tam giác đều.

• Tính sai chiều cao hình thang: Cần chú ý chiều cao hình thang là hiệu số giữa hai khoảng cách từ tâm đến hai cạnh đáy tương ứng.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán chia ngăn lục giác đều như thế này, nếu các ngăn hình thang cân bao quanh có diện tích liên quan đến lõi giữa, tỉ số giữa các cạnh thường là các số hữu tỉ đẹp.

Với bài toán "Diện tích lõi = 2 lần diện tích mỗi ngăn bao quanh", ta luôn có $x = \frac{1}{2} \times \text{cạnh lớn}$.

Áp dụng: $x = 10 / 2 = 5$ cm. Cực nhanh cho các bài trắc nghiệm!