Bài 9.14 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.14 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho ABC là tam giác đều có cạnh bằng 4 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Phân tích nhanh

Để giải bài toán này, các em cần vận dụng các đặc điểm hình học của tam giác đều:

• Tâm đường tròn: Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau và chính là trọng tâm của tam giác đó.

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp ($R$): Là khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh.

• Bán kính đường tròn nội tiếp ($r$): Là khoảng cách từ trọng tâm đến cạnh.

Giải bài 9.14 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa:

Vẽ đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác đều $ABC$.

Bước 1: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ($R$)

Vì tam giác $ABC$ đều nên đường tròn ngoại tiếp $(O)$ có tâm là trọng tâm của tam giác.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ được tính theo công thức: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Với $a = 4$ cm, ta có:

Bước 2: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ($r$)

Mặt khác, ta đã biết đường tròn nội tiếp tam giác đều cũng có tâm là trọng tâm của tam giác đó. Do đó, điểm $O$ đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ được tính theo công thức: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Với $a = 4$ cm, ta có:

Kết luận: * Bán kính đường tròn ngoại tiếp là $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm.

• Bán kính đường tròn nội tiếp là $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm.

Tổng kết

• Trong tam giác đều cạnh $a$:

  • Đường cao $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

  • Bán kính ngoại tiếp $R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

  • Bán kính nội tiếp $r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn hai loại bán kính: Học sinh thường nhầm công thức giữa $R$ và $r$. Hãy nhớ rằng bán kính ngoại tiếp ($R$) luôn lớn gấp đôi bán kính nội tiếp ($r$) trong tam giác đều ($R = 2r$).

• Quên trục căn thức ở mẫu: Khi tính toán, các em nên rút gọn biểu thức về dạng tối giản nhất để dễ dàng đối chiếu kết quả.

Mẹo giải nhanh

Nếu các em đã tính được bán kính ngoại tiếp $R$, chỉ cần thực hiện một phép chia đơn giản để tìm $r$:

$r = R : 2$

Áp dụng vào bài: $r = \frac{4\sqrt{3}}{3} : 2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm. Rất nhanh và chính xác!