Bài 9.5 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.5 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

 Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm S nằm ngoài (O). Cho hai đường thẳng SA, SB lần lượt cắt (O) tại M (khác A) và N (khác B). Gọi P là giao điểm của BM và AN (H.9.10). Chứng minh rằng SP vuông góc với AB.

Phân tích nhanh

Để chứng minh $SP \perp AB$, chúng ta cần vận dụng kiến thức về:

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn: Đây là tính chất quan trọng để xác định các đường cao.

• Tính chất trực tâm của tam giác: Trong một tam giác, ba đường cao cùng đi qua một điểm (trực tâm). Đường nối từ đỉnh đến trực tâm chắc chắn sẽ vuông góc với cạnh đối diện.

Giải bài 9.5 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Xét đường tròn $(O)$, ta thực hiện các bước chứng minh sau:

Bước 1: Xác định các góc vuông

Ta có $\widehat{AMB}$ và $\widehat{ANB}$ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AB$.

Theo tính chất góc nội tiếp, ta có:

Bước 2: Xác định các đường cao của tam giác $ABS$

Từ kết quả trên, ta suy ra:

• $BM \perp AM$ hay $BM \perp AS$.

• $AN \perp BN$ hay $AN \perp BS$.

Trong tam giác $ABS$, $BM$ và $AN$ lần lượt là hai đường cao ứng với hai cạnh $AS$ và $BS$.

Bước 3: Sử dụng tính chất trực tâm

Mà $P$ là giao điểm của $BM$ và $AN$ (theo giả thiết).

Do đó, $P$ chính là trực tâm của tam giác $ABS$.

Theo tính chất của trực tâm, đường thẳng đi qua đỉnh $S$ và trực tâm $P$ phải vuông góc với cạnh còn lại là $AB$.

Kết luận: Vậy $SP \perp AB$ (điều phải chứng minh).

Tổng kết

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn bằng $90^\circ$.

• Giao điểm của hai đường cao trong tam giác là trực tâm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không nhận ra góc chắn nửa đường tròn: Nhiều em loay hoay đi chứng minh vuông góc mà quên mất giả thiết $AB$ là đường kính.

• Nhầm lẫn các cạnh của tam giác: Khi xét trực tâm, cần xác định đúng tam giác chủ đạo là $\Delta ABS$ thay vì các tam giác nhỏ hơn như $\Delta ABP$ hay $\Delta MNP$.

Mẹo giải nhanh

Khi gặp dạng bài có đường kính và các dây cung cắt nhau tạo ra một điểm bên trong, hãy nghĩ ngay đến Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Mẹo ghi nhớ: Cứ thấy đỉnh nằm trên đường tròn mà hai chân nằm ở hai đầu đường kính thì góc đó bằng $90^\circ$. Từ đó bài toán chứng minh vuông góc sẽ trở nên cực kỳ đơn giản qua tính chất trực tâm.