Bài 9.8 SGK Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.8 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 3 cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán này, các em cần vận dụng các đặc điểm của tam giác đều nội tiếp đường tròn:

• Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm của tam giác.

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ (đoạn $AO$) bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường cao của tam giác đều.

• Công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{cạnh đáy} \cdot \text{chiều cao}$.

Giải bài 9.8 SGK Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh họa:

Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác cũng chính là trọng tâm của tam giác đó. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có mối liên hệ với cạnh $BC$ theo công thức: $AO = \frac{\sqrt{3}}{3}BC$.

Bước 1: Tính độ dài cạnh tam giác $ABC$

Theo đề bài, ta có bán kính $AO = 3$ cm. Thay vào công thức trên:

Bước 2: Tính độ dài đường cao $AH$

Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AH$ đồng thời là đường trung trực, đường trung tuyến và là đường cao của tam giác.

Do $O$ là trọng tâm nên ta có:

Bước 3: Tính diện tích tam giác $ABC$

Diện tích của tam giác $ABC$ được tính theo công thức:

Kết luận: Vậy diện tích của tam giác $ABC$ là $\frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$.

Tổng kết

• Trong tam giác đều cạnh $a$: Đường cao $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ và bán kính ngoại tiếp $R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3}h$.

• Diện tích tam giác đều: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa bán kính nội tiếp và ngoại tiếp: Hãy nhớ bán kính ngoại tiếp ($R$) nối từ tâm đến đỉnh, còn bán kính nội tiếp ($r$) nối từ tâm đến cạnh. Trong tam giác đều, $R = 2r$.

• Sai sót khi khử mẫu số căn thức: Khi tính toán với $\sqrt{3}$, các em cần cẩn thận để tránh nhầm lẫn các hệ số.

Mẹo giải nhanh

Đối với tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$, diện tích có thể tính nhanh bằng công thức:

$S = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$

Áp dụng vào bài: $S = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3^2}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$.

Sử dụng công thức này sẽ giúp các em giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm cực kỳ tốc độ!