Cách giải phương trình đối xứng với Sinx và Cosx - Toán 11 chuyên đề

09:41:4708/09/2022

Là một trong những phương trình lượng giác thường gặp, giải phương trình đối xứng với sinx và cosx là nội dung quan trọng mà các em cần nắm vững trong nội dung toán lớp 11.

Vậy cách giải phương trình đối xứng với sinx và cosx như thế nào? Các em cùng hayhochoi tìm hiểu qua nội dung bài viết dưới đây và vận dụng vào giải một số bài tập minh hoạ để hiểu rõ hơn nhé.

• Phương pháp giải Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Để giải phương trình lượng giác với sinx và cosx có dạng a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a, b ≠ 0) chúng ta thực hiện như sau:

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó: $small sinx.cosx=frac{t^{2}-1}{2}$ thay vào phương trình ta được:

bt² + 2at + 2c - b = 0 (*)

- Lưu ý: $small t = sinx + cosx=sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )$ nên điều kiện của t là:

- Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng cũng có thể giải bằng cách tương tự:

Đặt t = sinx - cosx; $small Rightarrow sinx.cosx=frac{1-t^{2}}{2}$

• Bài tập giải Phương trình đối xứng với sinx và cosx

* Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

* Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:

$small sinx.cosx=frac{t^{2}-1}{2}$ thay vào phương trình ta được:

$small 2t-4frac{t^{2}-1}{2}-1=0$

⇔ 2t² - 2t - 1 = 0

$small Leftrightarrow t=frac{1+sqrt{3}}{2}$ hoặc $small t=frac{1-sqrt{3}}{2}$

+ Với $\small t=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ $small Rightarrow sinx+cosx=frac{1+sqrt{3}}{2}$

$small Leftrightarrow sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )=frac{1+sqrt{3}}{2}$

$small Leftrightarrow cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )=frac{1+sqrt{3}}{2sqrt{2}}$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{4}pm arccosleft ( frac{1+sqrt{3}}{2sqrt{2}} ight )+k2pi,(kin mathbb{Z})$

+ Với $small t=frac{1-sqrt{3}}{2}$ $small Rightarrow x=frac{pi }{4}pm arccosleft ( frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}} ight )+k2pi,(kin mathbb{Z})$

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

small Leftrightarrow 2sinxcosx-12(sinx+cosx)+12=0

small Leftrightarrow sinxcosx-6(sinx+cosx)+6=0

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:

$small sinx.cosx=frac{t^{2}-1}{2}$ thay vào phương trình ta được:

$small frac{t^{2}-1}{2}-6t+6=0$ $small Leftrightarrow t^{2}-12t+11=0$

+ Với t=1

$small Leftrightarrow sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )=1$

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}=cos(frac{pi }{4})$

$small Leftrightarrow x-frac{pi }{4}=frac{pi }{4}+k2pi$ hoặc $small x-frac{pi }{4}=-frac{pi }{4}+k2pi$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi$ hoặc

+ Với : loại

* Bài tập 2: Giải phương trình đối xứng với sinx và cosx sau:

a) 2(sinx + cosx) + 3sin2x = 2.

b) sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 2.

* Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) + 3sin2x = 2 (*)

Đặt t = sinx + cosx, với $\small -\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$

Khi đó: $\small sinx.cosx = \frac{t^2-1}{2}$

Phương trình (*) trở thành: $\small 2t+3.\frac{t^2-1}{2}=2$

$\small \Leftrightarrow 3t^2-4t-7=0\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} t=-1\\ t=7/3 \end{matrix} \right.$

Đối chiếu điều kiện ta thấy t = -1 (thoả), t = 7/3 (loại)

Với t = 1, ta có: sinx + cosx = -1

$\small \Leftrightarrow \sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=-1$

$\small \Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

$\small \Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{-\sqrt{2}}{2}$

$\small \Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=sin\left (- \frac{\pi }{4} \right )$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi\\ x+\frac{\pi }{4}=\pi-\left (-\frac{\pi }{4} \right )+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi\\ x=\pi+k2\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

b) sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 2 (*)

Đặt t = sinx + cosx, với $\small -\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$

Khi đó: $\small sinx.cosx = \frac{t^2-1}{2}$

Phương trình (*) trở thành: $\small \frac{t^2-1}{2}+2t=2$

$\small \Leftrightarrow t^2+4t-5=0\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} t=1\\ t=-5 \end{matrix} \right.$

Đối chiếu điều kiện t = 1 (nhận), t = -5 (loại)

Với t = 1, ta có: sinx + cosx = 1

$\small \Leftrightarrow \sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=1$

$\small \Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\small \Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\small \Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=sin\left ( \frac{\pi }{4} \right )$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi\\ x+\frac{\pi }{4}=\pi-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k2\pi\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài tập 3: Giải phương trình lượng giác sau:

6(sinx - cosx) + sinxcosx + 6 = 0 (*)

* Lời giải:

Đặt t = sinx - cosx, với điều kiện: $\small -\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$

$\small \Rightarrow sinxcosx=\frac{1-t^2}{2}$ khi đó phương trình (*) trở thành:

$\small 6t-\frac{1-t^2}{2}+6=0$

$\small \Leftrightarrow t^2-12t-13=0\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} t=-1\\ t=13 \end{matrix} \right.$

Đối chiếu điều kiện, ta thấy: t = -1 (nhận), t = 13 (loại)

Với t = -1, ta có: sinx - cosx = -1

$\small \Leftrightarrow sinx-cos=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\small \Leftrightarrow sin\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )=sin\left ( -\frac{\pi }{4} \right )$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi\\ x-\frac{\pi }{4}=\pi-\left (-\frac{\pi }{4} \right )+k2\pi \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k2\pi\\ x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài tập 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 4(cosx - sinx) + sin2x = 1

b) sin³x - cos³x = 1

* Bài tập 5: Giải các phương trình đối xứng với sinx và cosx sau:

a) sinx + cosx - 4sinxcosx = 1

b) 3(sinx + cosx) - 4sinxcosx = 0

c) $\small -\sqrt{2}(sinx+cosx)+sinxcosx=-1$

Hy vọng với bài viết Cách giải phương trình đối xứng với Sinx và Cosx Toán lớp 11 ở trên của Hay Học Hỏi giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Cách giải phương trình đối xứng với Sinx và Cosx - Toán 11 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét