Cách giải phương trình đối xứng với Sinx và Cosx - Toán 11 chuyên đề

Vậy phương pháp giải dạng toán này như thế nào? Cùng Hay Học Hỏi tìm hiểu chi tiết lý thuyết và các bài tập vận dụng có lời giải dưới đây nhé!

1. Phương pháp giải phương trình đối xứng với sinx và cosx

Dạng 1: Phương trình đối xứng

Dạng tổng quát:

(với $a, b \neq 0$)

Cách giải:

• Bước 1: Đặt $t = \sin x + \cos x$.

• Bước 2: Xác định điều kiện của $t$: $t = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ nên điều kiện là $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$.

• Bước 3: Biến đổi tích $\sin x \cos x$ theo $t$:

  Ta có $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

• Bước 4: Thay vào phương trình ban đầu ta được phương trình bậc hai theo $t$:

  $$bt^2 + 2at + 2c - b = 0$$

• Bước 5: Giải tìm $t$, đối chiếu điều kiện và suy ra $x$.

Dạng 2: Phương trình dạng vế trái đối xứng (sinx - cosx)

Dạng:

Cách giải tương tự:

• Đặt $t = \sin x - \cos x$. Điều kiện: $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$.

• Ta có $t^2 = 1 - 2\sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2}$.

2. Bài tập giải phương trình đối xứng với sinx và cosx có lời giải

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao để các em tự luyện tập.

Bài tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau

a) $2(\sin x + \cos x) - 4\sin x \cos x - 1 = 0$

b) $\sin 2x - 12(\sin x + \cos x) + 12 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) Đặt $t = \sin x + \cos x$ ($-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$), suy ra $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Thay vào phương trình:

$2t - 4\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) - 1 = 0 \Leftrightarrow -2t^2 + 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow 2t^2 - 2t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ (Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$).

• Với $t = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

  $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right) + k2\pi$

• Với $t = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right) + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

b) Phương trình tương đương: $2\sin x \cos x - 12(\sin x + \cos x) + 12 = 0$.

Đặt $t = \sin x + \cos x$ ($|t| \leq \sqrt{2}$), ta có:

$(t^2 - 1) - 12t + 12 = 0$ $\Leftrightarrow t^2 - 12t + 11 = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = 1 \text{ (thỏa mãn)} \\ t = 11 \text{ (loại)} \end{matrix}\right.$

Với $t = 1 \Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$ $\Leftrightarrow \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \end{matrix}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$

Bài tập 2: Vận dụng giải phương trình đối xứng và các dạng liên quan

Giải các phương trình sau:

a) $2(\sin x + \cos x) + 3\sin 2x = 2$

b) $\sin x \cos x + 2(\sin x + \cos x) = 2$

Lời giải chi tiết:

a) $2(\sin x + \cos x) + 3\sin 2x = 2$

Đặt $t = \sin x + \cos x$, điều kiện $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$.

Khi đó: $\sin 2x = 2\sin x \cos x = t^2 - 1$.

Phương trình trở thành:

$2t + 3(t^2 - 1) = 2 \Leftrightarrow 3t^2 + 2t - 5 = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = 1 \text{ (Thỏa mãn)} \\ t = -5/3 \text{ (Loại vì } -5/3 < -\sqrt{2}) \end{matrix}\right.$

Với $t = 1 \Rightarrow \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$ $\Leftrightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + k2\pi \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \end{matrix}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).

b) $\sin x \cos x + 2(\sin x + \cos x) = 2$

Đặt $t = \sin x + \cos x$ ($|t| \leq \sqrt{2}$), suy ra $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Thay vào phương trình ta được:

$\frac{t^2 - 1}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow t^2 - 1 + 4t = 4 \Leftrightarrow t^2 + 4t - 5 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = 1 \text{ (Thỏa mãn)} \\ t = -5 \text{ (Loại)} \end{matrix}\right.$

Với $t = 1$, tương tự câu a, ta có nghiệm:

$\left[\begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \end{matrix}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Bài tập 3: Dạng phương trình hiệu (sinx - cosx)

Giải phương trình: $6(\sin x - \cos x) + \sin x \cos x + 6 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = \sin x - \cos x$ ($|t| \leq \sqrt{2} \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2}$).

Phương trình trở thành: $6t + \frac{1 - t^2}{2} + 6 = 0$ $\Leftrightarrow -t^2 + 12t + 13 = 0$  $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = -1 \text{ (nhận)} \\ t = 13 \text{ (loại)} \end{matrix}\right.$

Với $t = -1 \Rightarrow \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{-1}{\sqrt{2}} = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \end{matrix}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).

3. Danh sách bài tập tự luyện

Để rèn luyện kĩ năng giải toán nhanh, các em hãy thực hiện các bài tập sau:

Bài tập 4: Giải phương trình:

a) $4(\cos x - \sin x) + \sin 2x = 1$

b) $\sin^3 x - \cos^3 x = 1$ (Gợi ý: Sử dụng hằng đẳng thức $a^3 - b^3$)

Bài tập 5: Giải các phương trình đối xứng:

a) $\sin x + \cos x - 4\sin x \cos x = 1$

b) $3(\sin x + \cos x) - 4\sin x \cos x = 0$

c) $-\sqrt{2}(\sin x + \cos x) + \sin x \cos x = -1$