Giải bài 4.19 trang 87 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD). Gọi E là một điểm nằm giữa S và A. Gọi (P) là mặt phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, AD.

Xác định giao tuyến của (P) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các định lý sau:

1. Giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Chúng ta sẽ lần lượt tìm giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với từng mặt bên của hình chóp.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

• Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (SAB) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến song song với AB.

Vẽ EF // AB (F thuộc SB) thì EF là giao tuyến của (P) và (SAB).

• Mặt phẳng (SAD) chứa đường thẳng AD song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (SAD) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến song song với AD.

Vẽ EG // AD (G thuộc SD) thì EG là giao tuyến của (P) và (SAD).

• Trong mặt phẳng (SCD), qua G vẽ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H.

Ta có: GH // CD và CD // AB nên GH // AB

⇒ GH nằm trong mặt phẳng (P).

Vì G thuộc SD nên G thuộc mặt phẳng (SCD) và H thuộc SC nên H thuộc mặt phẳng (SCD)

⇒ GH nằm trong mặt phẳng (SCD).

⇒ GH là giao tuyến của (P) và (SCD).

• Nối H với F, ta có H thuộc SC nên H thuộc mặt phẳng (SBC). Vì F thuộc SB nên F thuộc mặt phẳng (SBC).

⇒ HF nằm trong mặt phẳng (SBC).

Mặt khác, H và F đều thuộc (P) nên HF nằm trong mặt phẳng (P).

⇒ HF là giao tuyến của (P) và (SBC).

• Ta có: EF // AB và GH // AB nên EF // GH

⇒ Tứ giác EFHG là hình thang.