Giải bài 4.18 trang 87 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng minh rằng đường thẳng BD song song với mặt phẳng (AMN).

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng, chúng ta cần sử dụng định lý sau:

• Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng và song song với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng đó, thì đường thẳng ban đầu song song với mặt phẳng.

Trong bài toán này, ta sẽ tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (AMN) mà song song với đường thẳng BD.

1. Sử dụng định lý đường trung bình: Áp dụng định lý đường trung bình vào tam giác BCD để tìm một đoạn thẳng song song với BD.

2. Kết nối các mối quan hệ: Sử dụng kết quả vừa tìm được và dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng để đưa ra kết luận cuối cùng.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD nên MN là đường trung bình của tam giác BCD

⇒ MN // BD.

Mà đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (AMN).

⇒ Đường thẳng BD song song với mặt phẳng (AMN).