Giải bài 4.17 trang 87 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hai tam giác ABC và ABD không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AD.

a) Đường thẳng AM có song song với mặt phẳng (BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.

b) Đường thẳng MN có song song với mặt phẳng (BCD) hay không? Hãy giải thích tại sao.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ lại các định nghĩa và tính chất sau:

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Một đường thẳng có thể cắt, song song với, hoặc nằm trong một mặt phẳng.

2. Định lý đường trung bình: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó.

3. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng và song song với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng đó, thì đường thẳng ban đầu song song với mặt phẳng.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

a) Vì M là trung điểm của cạnh AC nên đường thẳng AM chứa điểm C.

Mặt khác, điểm C thuộc mặt phẳng (BCD) và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) (do bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng).

Vì vậy, đường thẳng AM cắt mặt phẳng (BCD) tại điểm C.

⇒ Đường thẳng AM không song song với mặt phẳng (BCD).

b) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AD nên MN là đường trung bình của ΔACD

⇒ MN // CD.

Mặt khác, đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng (BCD) và đường thẳng MN không nằm trong mặt phẳng (BCD).

⇒ Đường thẳng MN song song với mặt phẳng (BCD).