Giải bài 4.45 trang 103 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, A'B'. Chứng minh rằng:

a) BD // B'D', (A'BD) // (CB'D') và MN // (BDD'B');

b) Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức sau:

1. Tính chất của hình hộp: Các mặt của hình hộp là hình bình hành; các cạnh bên song song và bằng nhau.

2. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

3. Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song: Nếumặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) // (Q).

4. Định lý đường trung bình: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó.

5. Tính chất trọng tâm: Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến và chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1.

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này để giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song và bằng nhau.

Xét tứ giác BDD'B' có BB' = DD' và BB' // DD' nên BDD'B' là hình bình hành.

Suy ra BD // B'D'. Do đó, BD // (CB'D').

Vì A'B'C'D' là hình bình hành nên A'D' // B'C' và A'D' = B'C'.

Vì BCC'B' là hình bình hành nên BC // B'C' và BC = B'C'.

Do đó, A'D' // BC và A'D' = BC nên A'D'CB là hình bình hành.

Suy ra A'B // D'C. Do đó, A'B // (CB'D').

Mặt phẳng (A'BD) chứa hai đường thẳng cắt nhau BD và A'B cùng song song với mặt phẳng (CB'D') nên (A'BD) // (CB'D').

Gọi E là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Khi đó E là trung điểm của AC và BD. Lại có M là trung điểm của AD nên ME là đường trung bình của tam giác ABD,

⇒ ME // AB và ME = AB   (*)

Vì N là trung điểm của A'B' nên NB' = A'B'.

Mà AB = A'B' và AB // A'B' 

⇒ NB' // AB và NB' =  AB  (**)

Từ (*) và (**) ⇒ ME // NB' và ME = NB' 

⇒ Tứ giác MEB'N là hình bình hành.

⇒ MN // B'E.

Vì E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (BDD'B'), do đó đường thẳng B'E nằm trong mặt phẳng (BDD'B').

Vậy MN // (BDD'B').

b) Vì E thuộc AC nên E thuộc mặt phẳng (ACC'A').

Trong mặt phẳng (ACC'A') gọi G là giao điểm của A'E và AC', gọi I là giao điểm của AC' và AC.

Mà E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (A'BD) nên A'E nằm trong mặt phẳng (A'BD). Vì G thuộc A'E nên G thuộc mặt phẳng (A'BD). Do đó, G là giao điểm của AC' và mặt phẳng (A'BD).

Tứ giác ACCA' có AA' = CC' và AA' // CC' nên ACC'A' là hình bình hành.

⇒ I là giao điểm của hai đường chéo AC' và A'C nên I là trung điểm của AC' và A'C.

Xét ΔAA'C có AI, A'E là các đường trung tuyến và G là giao của AI và A'E (do G là giao của AC' và A'E) nên G là trọng tâm của ΔAA'C.

Xét ΔA'BD có A'E là đường trung tuyến (do E là trung điểm của BD) và  nên G là trọng tâm của ΔA'BD.

Vậy đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của ΔA'BD.